[論文レビュー] Topological Open P-Branes

Jae-Suk Park|ArXiv.org|Dec 15, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 51被引用数 57

ひとこと要約

本稿では、M理論におけるトポロジカルな開 $p$-ブレーンが、(p+1)代数を体積内に、境界上で $p$-代数を実現することを提案する。平坦な $C$-場は、ブレーンの世界面における多ベクトル代数を $2$-代数として変形する。主な結果は、BV 量子化を通じた一般化デリーニュ予想の物理的実現であり、トポロジカルな開膜が変形量子化および $p$-代数圏におけるホモロジカルミラー双対性と結びつく。

ABSTRACT

By exploiting the BV quantization of topological bosonic open membrane, we argue that flat 3-form C-field leads to deformations of the algebras of multi-vectors on the Dirichlet-brane world-volume as 2-algebras. This would shed some new light on geometry of M-theory 5-brane and associated decoupled theories. We show that, in general, topological open p-brane theory has a structure of (p+1)-algebra in the bulk, while a structure of p-algebra in the boundary. The bulk/boundary correspondences are exactly as the generalized Deligne conjecture (a theorem of Kontsevich) in the algebraic world of p-algebras. It also imply that the algebras of quantum observables of (p-1)-brane are ``close to'' the algebras of its classical observables as p-algebras. We interpret above as deformation quantization of (p-1)-brane, generalizing the p=1 case. We argue that there is such quantization based on the direct relation between BV master equation and Ward identity of the bulk topological theory. The path integral of the theory will lead to the explicit formula. We also discuss some applications to topological strings and conjecture that the homological mirror symmetry has further generalizations to the categories of p-algebras.

研究の動機と目的

• M理論におけるトポロジカルな開 $p$-ブレーンの代数的構造を解明すること、特に $C$-場が世界面代数をどのように変形するかを特定すること。
• トポロジカルな開膜のBV 量子化を通じて、一般化デリーニュ予想の物理的実現を確立すること。
• 変形量子化およびホモロジカルミラー双対性を、$p=1$ の場合に拡張した $p$-代数の圏へ一般化すること。
• 経路積分およびウォード恒等式の構造を通じて、トポロジカルな開 $p$-ブレーン理論を $A_{\infty}$-圏および拡張された B モデルに結びつけること。

提案手法

• 平坦な $3$-形式 $C$-場に結合したトポロジカルな開膜を、バタリン＝ヴィルコビッチ (BV) 量子化で分析する。
• 境界理論が、Dブレーンの世界面 $X$ 上の多ベクトルのゲルステンハーバー代数として特定され、$\Pi T^*X$ 上の関数として実現されることを特定する。
• 平坦な $C$-場が、BV マスター方程式を介して境界代数の $G_\infty$-代数（すなわち $2$-代数）への変形を引き起こすことを示す。
• 一般化デリーニュ予想を用いて、トポロジカルな開 $p$-ブレーン理論における体積内 $(p+1)$-代数と境界 $p$-代数の構造を関連付ける。
• 経路積分を用いて、変形された代数における高次の合成の明示的公式を導出し、コンツェビッチの変形量子化を一般化する。
• ホモロジカルミラー双対性が $p$-代数の圏へ拡張可能であり、ミラー双対性がトポロジカルな $p$-ブレーン理論の物理的双対性として実現されるとの仮説を立てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦な $C$-場は、トポロジカルな開 $p$-ブレーンの世界面における多ベクトル代数をどのように変形するか？
• RQ2 トポロジカルな開 $p$-ブレーン理論における体積内および境界の代数的構造は何か？ それらは一般化デリーニュ予想を通じてどのように関連づけられるか？
• RQ3 BV マスター方程式およびウォード恒等式は、$(p-1)$-ブレーンの変形量子化を物理的に導出可能か？
• RQ4 トポロジカルな開膜理論の経路積分は、$p$-代数における高次合成の明示的公式をどのように生成するか？
• RQ5 ホモロジカルミラー双対性は、$p$-代数の圏へ一般化可能か？ ミラー双対性は、$p$-ブレーン理論の物理的双対性として実現されるか？

主な発見

• トポロジカルな開 $p$-ブレーンは、体積内で $(p+1)$-代数構造、境界で $p$-代数構造を実現し、一般化デリーニュ予想と正確に対応する。
• 平坦な $C$-場の存在が、境界のゲルステンハーバー代数を $G_\infty$-代数（すなわち $2$-代数）に変形する。これはコンツェビッチの変形量子化を一般化する。
• BV マスター方程式により量子的整合性が保証され、変形された観測量代数が $A_\infty$-圏を形成することを示し、拡張された B モデルの構造を保存する。
• トポロジカルな開膜理論の経路積分により、変形された代数における高次合成の物理的導出が可能であり、オープンストリング場理論に類似する。
• 本稿では、ホモロジカルミラー双対性が $p$-代数の圏へ拡張可能であり、ミラー双対性がトポロジカルな開 $p$-ブレーン理論の物理的双対性として実現されるとの仮説を立てる。
• 理論は、M理論の $5$-ブレーンの力学と $p$-代数的構造とのより深い関係を示唆し、$6$ 次元の場合に自己双対な $C$-場が中心的役割を果たす。