[論文レビュー] Differential Rings from Special Kähler Geometry

Jie Zhou|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 55被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、一パラメータ族のCalabi-Yau三foldの変形空間における特殊Kähler幾何から、モジュラー形式、準モジュラー形式、およびほぼ正則モジュラー形式の環に類似した、順序付き微分付き環の三重組 $\mathcal{R}$, $\widetilde{\mathcal{R}}$, および $\widehat{\mathcal{R}}$ を構成する。主な結果は、ホロモルフィック異常方程式の解であるトポロジカル弦の分配関数が、重みゼロのほぼ正則モジュラー形式であることが示され、環の生成子を用いた genus ごとの明示的解が得られることである。

ABSTRACT

We study triples of graded rings defined over the deformation spaces for certain one-parameter families of Calabi-Yau threefolds. These rings are analogues of the rings of modular forms, quasi-modular forms and almost-holomorphic modular forms. We also discuss some of their applications in solving the holomorphic anomaly equations.

研究の動機と目的

• 特殊Kähler幾何から導かれる微分付き環を用いて、トポロジカル弦理論におけるホロモルフィック異常方程式の数学的枠組みを確立すること。
• モジュラー形式、準モジュラー形式、およびほぼ正則モジュラー形式の環構造をCalabi-Yau三fold族へ一般化すること。
• ほぼ正則モジュラー形式環の生成子を用いた多項式表現によって、ホロモルフィック異常方程式を体系的に解く方法を提供すること。
• Fricke対合を用いて、モジュラー曲線の尖点における正則性条件とトポロジカル弦振幅のホロモルフィック極限を結びつけること。
• 特定の非コンパクトなCalabi-Yau三foldに対して、分配関数が重みゼロのほぼ正則モジュラー形式であることを、多項式再帰とモジュラー理論を用いて示すこと。

提案手法

• Picard-Fuchs方程式からの周期関数とホロモルフィック極限における特殊Kähler計量を用いて、変形空間 $\mathcal{M}$ 上に標準座標 $t$ を定義する。
• ホロモルフィックモジュラー型関数の環 $\mathcal{R}$、周期関数の微分を用いた準モジュラー形式の環 $\widetilde{\mathcal{R}}$、およびほぼ正則モジュラー形式への完備化として得られる $\widehat{\mathcal{R}}$ を構成する。
• Fricke対合を用いて、異なる尖点における正則性条件を、準モジュラー形式の $q_{\tau}$-展開に関する制約に翻訳する。
• 多項式再帰技法を適用して、境界条件として尖点における正則性を課すことにより、ホロモルフィック異常方程式を再帰的に解く。
• トポロジカル弦の分配関数 $F_g$ を $q_{\tau}$ に関する母関数として表現し、その係数がGromov-Witten不変量 $N^{\textrm{hyp}}_{g,d}$ と関係することを示す。
• Eisenstein級数の恒等式と $\eta$-関数を用いて、$C_{ttt}$, $\partial_t F^1$, および高次の $F_g$ の明示的展開をモジュラー形式および $q_{\tau}$-級数の形で導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊Kähler幾何を用いて、モジュラー形式の環構造をCalabi-Yau三fold族へどのように一般化できるか。
• RQ2 適切な微分付き環を同定することにより、モジュラー形式理論の枠組み内でホロモルフィック異常方程式を完全に解くことは可能か。
• RQ3 Fricke対合は、異なる尖点における正則性条件を、準モジュラー形式の $q_{\tau}$-展開に関する制約にどのように翻訳するか。
• RQ4 Gromov-Witten不変量 $N^{\textrm{hyp}}_{g,d}$ は、分配関数の $q_{\tau}$-展開からどのように導かれるか。
• RQ5 トポロジカル弦の分配関数は、どの程度まで重みゼロのほぼ正則モジュラー形式として表現可能か。

主な発見

• 特定の一パラメータ族のCalabi-Yau三foldに対して、正規化されたトポロジカル弦の分配関数が、重みゼロのほぼ正則モジュラー形式であることが示され、genus ごとの明示的解が得られた。
• 局所 $\mathbb{P}^2$ Calabi-Yau に対しては、$C_{ttt} = -\frac{1}{3} \frac{\eta(3\tau)^3}{\eta(\tau)^9}$ であり、$\partial_t F^1 = -\frac{1}{48} \left(1 + 3q_\tau - 18q_\tau^2 - \cdots \right)$ となる。係数は既知のGromov-Witten不変量と一致する。
• 母関数 $\partial_t F^1 = \frac{1}{12} q_\tau$ は、$N^{\textrm{hyp}}_{1,1} = \frac{1}{12}$ および $d \geq 2$ に対して $N^{\textrm{hyp}}_{1,d} = 0$ を意味する。
• genus $g \geq 2$ に対して、不変量 $N^{\textrm{hyp}}_{g,d}$ は $\frac{|B_{2g}|}{2g(2g-2)!} \mathrm{Li}_{3-2g}(q_\tau(1+q_\tau)^{-1})$ で与えられ、$q_\tau$ に関する明示的級数展開を持つ。
• 標準座標 $t$ は $t = \int \frac{dq_\tau}{q_\tau} \frac{\eta(\tau)^9}{\eta(3\tau)^3}$ と表され、$q_t = q_\tau - 9q_\tau^2 + 54q_\tau^3 - \cdots$ となる。これは数値実験と一致する。
• Yamaguchi-Yau が構成した環 $\widehat{\mathcal{R}}$ は、ほぼ正則モジュラー形式の環として実現され、三重組 $(\mathcal{R}, \widetilde{\mathcal{R}}, \widehat{\mathcal{R}})$ はホロモルフィック異常方程式を解くための完全な代数的枠組みを提供する。