[論文レビュー] Diffusion and Butterfly Velocity at Finite Density

Keun-Young Kim, Chao Niu|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限密度を有するホログラフィックモデルにおける電荷およびエネルギー拡散を調査し、バタフライ速度（$v_B$）が特徴的な速度スケールとして果たす役割に注目する。エネルギー拡散（$D_e$）は、非一貫状態において、常に境界 $D_e \sim \frac{1}{2} \frac{\hbar v_B^2}{k_B T}$ を達成することが判明したが、電荷拡散（$D_c$）は普遍的にその境界に達しないことが示され、$v_B$ が電荷拡散を支配するとは限らない可能性が示唆され、$C_+$ はモデルパラメータに依存する。

ABSTRACT

We study diffusion and butterfly velocity ($v_B$) in two holographic models, linear axion and axion-dilaton model, with a momentum relaxation parameter ($β$) at finite density or chemical potential ($μ$). Axion-dilaton model is particularly interesting since it shows linear-$T$-resistivity, which may have something to do with the universal bound of diffusion. At finite density, there are two diffusion constants $D_\pm$ describing the coupled diffusion of charge and energy. By computing $D_\pm$ exactly, we find that in the incoherent regime ($β/T \gg 1,\ β/μ\gg 1$) $D_+$ is identified with the charge diffusion constant ($D_c$) and $D_-$ is identified with the energy diffusion constant ($D_e$). In the coherent regime, at very small density, $D_\pm$ are `maximally' mixed in the sense that $D_+(D_-)$ is identified with $D_e(D_c)$, which is opposite to the case in the incoherent regime. In the incoherent regime $D_e \sim C_- \hbar v_B^2 / k_B T$ where $C_- = 1/2$ or 1 so it is universal independently of $β$ and $μ$. However, $D_c \sim C_+ \hbar v_B^2 / k_B T$ where $C_+ = 1$ or $ β^2/16π^2 T^2$ so, in general, $C_+$ may not saturate to the lower bound in the incoherent regime, which suggests that the characteristic velocity for charge diffusion may not be the butterfly velocity. We find that the finite density does not affect the diffusion property at zero density in the incoherent regime.

研究の動機と目的

• 運動量緩和を伴うホログラフィックモデルにおける有限化学ポテンシャル（密度）が、拡散定数に与える影響を調査すること。
• 非一貫状態において、バタフライ速度（$v_B$）が電荷拡散およびエネルギー拡散の両方を普遍的に支配するかを特定すること。
• 線形-$T$ 电阻率およびホームズの法則の文脈において、拡散境界の普遍性を検討すること。
• ホライズンデータが拡散定数の計算に果たす役割と、普遍性への意味を明確にすること。
• $v_B$ が電荷拡散の正しい特徴的な速度スケールであるか、それとも他のスケールが支配しているかを調査すること。

提案手法

• 運動量緩和パラメータ $\beta$ と有限化学ポテンシャル $\mu$ を持つ2つのホログラフィックモデル（線形アキソンおよびアキソン-ダイラトン）において、拡散定数 $D_\pm$ の解析的計算。
• ホログラフィック手法を用いて、両方の状態（一貫状態および非一貫状態、$\beta/T \gg 1$、$\beta/\mu \gg 1$）において $D_\pm$ を正確に計算。
• 非一貫状態において、アインシュタイン関係および導電率関係を用いて $D_+$ と $D_-$ がそれぞれ電荷拡散定数とエネルギー拡散定数として特定されること。
• ホライズンデータからバタフライ速度 $v_B$ を抽出し、拡散境界 $D \gtrsim v^2 \hbar / (k_B T)$ の検証に用いること。
• 係数 $C_\pm$ を $D_\pm \approx C_\pm \frac{v_B^2}{2\pi T}$ の形で比較し、普遍性を評価すること。
• ホライズンデータが $\kappa$、$c_\rho$、$v_B$ の計算に果たす役割の分析を行うが、$\chi$ および $\zeta$ の計算には、完全なバルク解が必要となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バタフライ速度 $v_B$ は、有限密度におけるホログラフィックモデルのエネルギー拡散を普遍的に支配するか？
• RQ2 電荷拡散定数 $D_c$ は普遍的に $v_B^2 \hbar / (k_B T)$ の境界に制限されるのか、それとも $\beta$ や $T$ などのモデルパラメータに依存するのか？
• RQ3 有限密度は、非一貫状態における電荷拡散とエネルギー拡散の分離にどのように影響するか？
• RQ4 両者ともプランケット的緩和に支配されているにもかかわらず、なぜエネルギー拡散は非一貫状態で普遍的であるのに対し、電荷拡散は普遍的でないのか？
• RQ5 $v_B$ よりも他の速度スケールが、特定のモデルにおける電荷拡散の普遍性を説明できるか？

主な発見

• 非一貫状態（$\beta/T \gg 1$、$\beta/\mu \gg 1$）において、エネルギー拡散 $D_e$ はアキソン-ダイラトン模型で $D_e \approx \frac{1}{2} \frac{\hbar v_B^2}{k_B T}$、線形アキソン模型で $D_e \approx \frac{\hbar v_B^2}{k_B T}$ を満たし、それぞれ $C_- = 1/2$ および $C_- = 1$ となる。これは普遍的挙動を示している。
• アキソン-ダイラトン模型では、$D_c \approx \frac{1}{2\pi T}$ であり、$C_+ = \beta^2 / (16\pi^2 T^2)$ が普遍的でないにもかかわらず、普遍的下限境界 $D_c \gtrsim \frac{\hbar v_B^2}{k_B T}$ を達成している。
• 非一貫状態では $D_+$ と $D_-$ がそれぞれ $D_c$ と $D_e$ として特定されるが、低密度における一貫状態では完全に混合され、$D_+$ が $D_e$ に対応し、$D_-$ が $D_c$ に対応する。
• エネルギー拡散定数 $D_e$ は、ホライズンデータにのみ依存するため、非一貫状態で普遍的である。一方、$D_c$ は $\chi$ および $\zeta$ に依存するため普遍的でない。
• バタフライ速度 $v_B$ は、電荷拡散の普遍的特徴的な速度スケールではない。アキソン-ダイラトン模型では $C_+$ が $\beta/T$ に依存するため、電荷輸送のための代替の速度スケールが存在する可能性がある。
• 有限密度は、非一貫状態におけるゼロ密度極限で拡散特性に影響を及ぼさない。$D_\pm$ はこの極限でゼロ密度の形に還元される。