[論文レビュー] Diffusion approximation for fully coupled stochastic differential equations

Michael Röckner, Longjie Xie|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、全空間上でのエルゴディックな拡散過程に関連するポアソン方程式の解について、弱い係数条件のもとで最適な正則性および滑らかさの推定を確立する。これらの結果は、係数が Hölder 継続的である場合に限り適用可能な、完全に結合された多スケール SDE に対する4つの異なる平均化拡散近似の導出に応用され、収束速度が速い変数に関する係数の正則性にのみ依存することを証明する。

ABSTRACT

We consider a Poisson equation in $\mathbb R^d$ for the elliptic operator corresponding to an ergodic diffusion process. Optimal regularity and smoothness with respect to the parameter are obtained under mild conditions on the coefficients. The result is then applied to establish a general diffusion approximation for fully coupled multi-time-scales stochastic differential equations with only Hölder continuous coefficients. Four different averaged equations as well as rates of convergence are obtained. Moreover, the convergence is shown to rely only on the regularities of the coefficients with respect to the slow variable, and does not depend on their regularities with respect to the fast component.

研究の動機と目的

• 係数にやや弱い条件を課したもとで、R^d1 に値をとるパラメータをもつポアソン方程式の解の鋭い正則性および滑らかさの性質を確立すること。
• 半群の微分可能性に依存しない、解のパラメータ y に関する滑らかさを解析するための新しい手法を考案すること。この手法は、転送公式と帰納法に基づく。
• 正則性結果を、係数が Hölder 継続的であるのみの完全に結合された多スケール SDE の拡散近似問題に応用すること。
• 4つの異なる平均化方程式とそれに対応する収束速度を導出し、それらが遅い変数に関する係数の正則性にのみ依存することを示すこと。
• 解およびその導出物のバインドの係数ノルムおよび駆動関数 f に対する明示的依存関係を提供することにより、数値解析や漸近展開への応用を可能にすること。

提案手法

• 解の正則性を解析するための新しい手法を開発し、x 変数における最適な事前推定に注目し、パラメータ y に関する滑らかさを帰納的に導出するための転送公式を用いる。
• 従来の研究で中心的であった、関連する半群をパラメータ y に関して微分する必要を回避する。
• 偏微分方程式の技法と確率的道具（不変測度およびエルゴディシティの利用を含む）を組み合わせて、主要な推定を導出する。
• 解を L^p 条件のもとでソボレフ空間に拡張する方法は開発されたが、この場合の詳細は今後の研究に延期された。
• 多スケール SDE への応用では、補正関数を構築し、制御されたマルティンゲール項と剰余項を用いて平均化原理の誤差を解析する。
• 4つの異なる平均化の状態が解析され、それぞれが異なるスケーリング極限に対応しており、剰余項の推定を用いて収束速度が導出された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 やや弱い係数条件のもとで、遅い変数 x およびパラメータ y に関して、ポアソン方程式の解の最適な正則性は何か？
• RQ2 半群の微分可能性に依存しないで、パラメータ y に関する解の滑らかさをどのように確立できるか？
• RQ3 係数に Hölder 継続性しか仮定しない場合、完全に結合された多スケール SDE の拡散近似の収束速度は何か？
• RQ4 収束速度は速い変数に関する係数の正則性に依存するのか、それとも遅い変数にのみ依存するのか？
• RQ5 解およびその導出物のバインドを、係数のノルムおよび駆動関数 f のノルムの関数として明示的に得ることは可能か？

主な発見

• 係数に明示的でやや弱い条件を課したもとで、ポアソン方程式の解は、パラメータ y に関して任意の階数の微分可能性および Hölder 継続性を有する。
• 平均化原理における収束速度は、速い成分ではなく、遅い変数に関する係数の正則性にのみ依存する。
• 4つの異なる平均化方程式が導出され、それぞれが多スケール系の異なるスケーリング・レジームに対応する。
• 明示的な収束速度が得られ、剰余項は α_ε^ϑ および α_ε/β_ε を含む表現式によって制御される。ここで α_ε および β_ε はスケーリングパラメータである。
• この手法により、係数 a, b およびポテンシャル項 f のノルムに対するバインドの明示的依存関係が得られ、数値解析に有用である。
• このアプローチは頑健であり、ソボレフ空間設定への拡張も可能であるが、これは今後の研究に委ねられた。