[論文レビュー] Strong and weak convergence in the averaging principle for SDEs with Hölder coefficients

Michael Röckner, Xiaobin Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、Zvonkinの変換とポアソン方程式を用いて、時間に依存する Hölder連続係数をもつ確率的微分方程式に対する平均化原理を確立する。強い意味での収束速度が $(\alpha \wedge 1)/2$ で、弱い意味での収束速度が $(\alpha/2) \wedge 1$ であることを証明し、収束が速い成分の係数の正則性にのみ依存し、遅い成分の係数の正則性には依存しないことを示している。

ABSTRACT

Using Zvonkin's transform and the Poisson equation in $R^d$ with a parameter, we prove the averaging principle for stochastic differential equations with time-dependent Hölder continuous coefficients. Sharp convergence rates with order $(α\wedge1)/2$ in the strong sense and $(α/2)\wedge1$ in the weak sense are obtained, considerably extending the existing results in the literature. Moreover, we prove that the convergence of the multi-scale system to the effective equation depends only on the regularity of the coefficients of the equation for the slow variable, and does not depend on the regularity of the coefficients of the equation for the fast component.

研究の動機と目的

• 時間に依存する Hölder連続係数をもつマルチスケールSDEに対する平均化原理を確立し、従来のリプシッツ連続性の仮定を越えて展開する。
• $\varepsilon \to 0$ の平均化極限における強い収束および弱い収束の鋭い収束速度を導出する。
• 収束速度が速い成分の係数の正則性にのみ依存し、遅い成分の係数の正則性には依存しないことを示す。
• 低正則性係数を扱うために、Zvonkinの変換とパラメータ付きポアソン方程式を用いた厳密な確率的枠組みを提供する。
• 特に、ドリフト項および拡散項におけるグローバルリプシッツ連続性の必要性を排除することで、既存の結果を一般化する。

提案手法

• $\mathbb{R}^d$ 上のパラメータ付きポアソン方程式のための適切なテスト関数を構築するために、Zvonkinの変換を用いてSDEを正則化する。
• パラメータ付きポアソン方程式を適用し、速い成分 $X_t^\varepsilon$ の摂動展開を導出し、誤差推定を可能にする。
• 近似関数列 $\tilde{\Psi}_n$ に伊藤の公式を適用し、誤差を三つの項 $\tilde{\mathscr{Q}}_1$、$\tilde{\mathscr{Q}}_2$、$\tilde{\mathscr{Q}}_3$ に分解する。各項は Hölder 連続性を用いて有界化される。
• Krylovの推定とチェビシェフの不等式を用いて、$\psi$ とその近似 $\psi_n$ 間の差の $L^p$ ノルムを制御し、弱い意味での収束を保証する。
• コルモゴロフ方程式の解の確率的表現を用いて、$\varphi(Y_T^\varepsilon)$ の期待値と有効な力学 $\bar{Y}_T$ を結びつける。
• 誤差項をバランスさせるためにパラメータ $n = \varepsilon^{-1/2}$ を最適化し、弱い意味での鋭い収束速度 $\varepsilon^{(\alpha/2) \wedge 1}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルリプシッツ連続性を仮定しない時間に依存する係数が Hölder 連続であるSDEに対し、平均化原理を確立できるか？
• RQ2 Hölder正則性仮定の下で、強い収束および弱い収束の鋭い収束速度は何か？
• RQ3 速い成分の有効方程式への収束速度が、速い成分の係数の正則性に依存するか？
• RQ4 Zvonkinの変換とパラメータ付きポアソン方程式は、マルチスケールSDEにおける低正則性係数を効果的に扱えるか？
• RQ5 テスト関数 $\varphi$ が滑らかではなく連続である場合、弱い意味での収束をどのように証明できるか？

主な発見

• 時間に依存する Hölder 連続係数をもつSDEに対して、$\alpha \in (0,1)$ を Hölder 指数として、強い収束速度 $(\alpha \wedge 1)/2$ を証明している。
• 弱い収束に対しては、$(\alpha/2) \wedge 1$ の鋭い収束速度を確立しており、既存の結果に明示的な収束速度が欠けていた点を改善している。
• 収束速度は速い成分の係数の正則性にのみ依存し、遅い成分の係数の正則性には依存しない。
• Zvonkinの変換とパラメータ付きポアソン方程式の使用により、最小限の滑らかさ仮定のもとでも誤差の上限を導出可能である。
• 連続有界なテスト関数 $\varphi$ に対して弱い収束を証明するため、$C_b^3$ 関数による近似と Krylov の推定を用いる。
• 最適な選択 $n = \varepsilon^{-1/2}$ により誤差項がバランスされ、弱い収束推定における最終的な収束速度 $\varepsilon^{(\alpha/2) \wedge 1}$ が得られる。