[論文レビュー] Diffusion Approximations for Expert Opinions in a Financial Market with Gaussian Drift

Jörn Saß, Dorothee Westphal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、観測不能なガウス型ドリフトを伴う金融市場において、周波数が上昇するにつれて精度が低下する高周波の専門家意見を組み込んだフィルタの拡散近似を展開する。適切なスケーリングのもとで、離散的専門家意見が連続時間の拡散過程に収束することを証明し、漸近的フィルタリング理論を用いて部分情報下でのポートフォリオ最適化問題の簡略化された解法を可能にする。

ABSTRACT

This paper investigates a financial market where returns depend on an unobservable Gaussian drift process. While the observation of returns yields information about the underlying drift, we also incorporate discrete-time expert opinions as an external source of information. For estimating the hidden drift it is crucial to consider the conditional distribution of the drift given the available observations, the so-called filter. For an investor observing both the return process and the discrete-time expert opinions, we investigate in detail the asymptotic behavior of the filter as the frequency of the arrival of expert opinions tends to infinity. In our setting, a higher frequency of expert opinions comes at the cost of accuracy, meaning that as the frequency of expert opinions increases, the variance of expert opinions becomes larger. We consider a model where information dates are deterministic and equidistant and another model where the information dates arrive randomly as the jump times of a Poisson process. In both cases we derive limit theorems stating that the information obtained from observing the discrete-time expert opinions is asymptotically the same as that from observing a certain diffusion process which can be interpreted as a continuous-time expert. We use our limit theorems to derive so-called diffusion approximations of the filter for high-frequency discrete-time expert opinions. These diffusion approximations are extremely helpful for deriving simplified approximate solutions of utility maximization problems.

研究の動機と目的

• 資産リターンが観測不能なガウス型ドリフト過程に依存する金融市場をモデル化すること。
• 離散時間での専門家意見を外部情報源として組み込み、周波数が上昇するにつれて精度が低下することを反映すること。
• 専門家意見の頻度が無限大に近づく際のフィルタの漸近的挙動を分析すること。
• 部分情報下での効用最大化問題を簡略化するためのフィルタの拡散近似を導出すること。
• 離散的専門家情報が連続時間の拡散過程に収束することを示す極限定理を確立すること。

提案手法

• ガウスノイズを伴う平均回帰型のオルンシュタイン＝ウーレンバック過程として隠れたドリフトをモデル化する。
• 離散時刻に到着する不偏で平均ゼロのガウス的推定値として専門家意見を組み込む。
• 意見の頻度が上昇するにつれて、各意見の分散が周波数に線形に増加すると仮定し、個々の精度の低下を反映する。
• 2つのモデルを分析する：決定的で等間隔の情報到着日と、ポアソン分布に従う到着時刻。
• 極限定理を適用し、フィルタの条件付き平均および共分散が L^p 上で連続時間の拡散過程のそれらに収束することを示す。
• 確率的微積分学とグロワールの補題を用いて、適切なスケーリングのもとでフィルタの条件付き平均および共分散の L^p 収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 専門家意見がますます高周波で到着する場合、フィルタはどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 専門家意見が頻繁に到着するが、個々の精度が低い場合、隠れたドリフトの条件付き平均および共分散の極限的挙動はいかなるものか？
• RQ3 高周波数極限において、離散的専門家意見を連続時間の拡散過程で近似できるか？
• RQ4 専門家意見の周波数と精度のトレードオフは、フィルタの品質にどのように影響するか？
• RQ5 フィルタが拡散過程に収束する条件は何か？収束速度はどの程度か？

主な発見

• 専門家意見の頻度が無限大に近づくにつれて、フィルタの条件付き平均および共分散行列が L^p 上で連続時間の拡散過程のそれらに収束する。
• 決定的およびポアソン分布に従う情報到着日に関わらず、高周波数極限において、極限過程は離散的専門家意見が持つ情報と同一のものを捉える。
• フィルタの条件付き平均および共分散の収束速度は O(1/√λ) であり、ここで λ は専門家意見の到着レートを表す。
• 拡散近似により、部分情報下での複雑な効用最大化問題に対する簡略化された近似解法が可能になる。
• 極限過程は、一定レートでノイズのある情報を連続的に提供する専門家として解釈でき、リターン過程と同じドリフトを保持する。
• 各専門家意見の分散が周波数に線形に増加するスケーリングのもとで、結果は非退化な漸近的挙動を保証する。