[論文レビュー] Diffusion in Energy Conserving Coupled Maps

Jean Bricmont, A. Kupiainen|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、エネルギー保存型結合写像格子が、速いカオス的ダイナミクスを遅いエネルギー変数に作用するノイズ源としてモデル化することで、スケーリング極限において拡散的挙動を示すことを確立している。マルチスケールレノルミズ・グループ（RG）手法を用いて、弱い結合および弱い非線形性の仮定の下で、エネルギー密度が伝導度関数を有する非線形拡散方程式に従うことを証明している。

ABSTRACT

We consider a dynamical system consisting of subsystems indexed by a lattice. Each subsystem has one conserved degree of freedom ("energy") the rest being uniformly hyperbolic. The subsystems are weakly coupled together so that the sum of the subsystem energies remains conserved. We prove that the subsystem energies satisfy the diffusion equation in a suitable scaling limit.

研究の動機と目的

• 拡張系のエネルギー保存系における拡散的挙動の出現を確立すること。
• エネルギーが局所的には保存されないが、全体としては保存される結合写像格子のスケーリング極限を分析すること。
• 厳密な手法を用いて、このような系のマクロスケール極限として非線形拡散方程式が正当化されることを示すこと。
• 速いカオス的ダイナミクスが遅いエネルギーの時間発展にノイズ源として作用する枠組みを構築すること。
• レノルミズ・グループの意味で非線形性とノイズがスケーリング極限において無視可能であることを証明し、拡散的スケーリングが得られることを示すこと。

提案手法

• 系を、格子 $\mathbb{Z}^d$ 上の局所的エネルギー変数 $E(x)$ と速いカオス的変数 $\theta(x)$ を持つ結合写像格子としてモデル化する。
• 非結合系のダイナミクスを $ (E(x), \theta(x)) \to (E(x), g(\theta(x), E(x))) $ と定義し、各サイトでエネルギーを保存する。
• サイト間の弱い結合を導入することで、全エネルギーが保存され、エネルギー流束が $ \dot{E}(t,x) = \nabla \cdot \mathbf{J}(t,x) $ を満たすようにする。
• 空間的・時間的拡散スケーリングの下で、遅いエネルギーダイナミクスを解析するためにマルチスケールレノルミズ・グループ（RG）手法を適用する。
• 記号的ダイナミクスとテレスコピック展開を用いて、ギブス測度のポテンシャルを表現し、一様なホルダー連続性と局所化を保証する。
• 系のSRB測度 $ \nu $ が、ホルダー連続な同相写像 $ \Gamma $ によるギブス測度 $ \mu $ の押し出し写像として得られることを証明し、統計的性質の制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱く結合されたカオス的サブシステムを有する決定論的・エネルギー保存系が、マクロスケール極限において拡散的エネルギー輸送を示すことができるか？
• RQ2 このような系におけるエネルギー密度が非線形拡散方程式 $ \partial_t E = \nabla \cdot (\kappa(E) \nabla E) $ を満たす条件は何か？
• RQ3 速いカオス的ダイナミクスと弱い結合がどのように作用し合い、拡散的スケーリングを生じさせるか？
• RQ4 レノルミズ・グループ手法を用いて、非線形性とノイズがスケーリング極限において無視可能であることを示せるか？
• RQ5 ギブス測度とSRB測度は、極限における系の統計的挙動を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 結合写像格子におけるエネルギー密度は、拡散的スケーリング極限において非線形拡散方程式 $ \partial_t E = \nabla \cdot (\kappa(E) \nabla E) $ を満たす。
• 伝導度関数 $ \kappa(E) $ は速いカオス的ダイナミクスの統計的性質から出現し、摂動的でない性質を有する。
• レノルミズ・グループ解析により、非線形性およびカオス的ダイナミクス由来のノイズがスケーリング極限において無視可能であることが示された。
• 全系のSRB測度 $ \nu $ は、ホルダー連続な同相写像 $ \Gamma $ によるギブス測度 $ \mu $ の押し出し写像として得られ、統計的安定性が保証される。
• ギブス測度 $ \mu_R $ の弱い極限が存在し、summableかつ局所化されたポテンシャルを有する一意なギブス測度 $ \mu $ を定義し、物理的測度の存在に必要な条件を満たす。
• 系の長期的統計的挙動は、指数的崩壊する相関関係を有するギブス測度に支配され、マクロスケール極限に対する厳密な制御が可能になる。