[論文レビュー] Dimensional Differences between Nonnegative Polynomials and Sums of Squares

Grigoriy Blekherman|ArXiv.org|Jul 8, 2009

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非負の同次多項式のコーンと二乗の和のコーンの面が、特に次数または変数の数が増加する際、顕著な次元的ギャップを示すことを確立している。これは、非負多項式と二乗の和の多項式を分離するための幾何的根拠を提供する。主な貢献は、明示的な二次形式と多項式空間上の内積を用いて、すべての二乗の和に対して成り立つが、特定の非負多項式では成り立たない不等式を構成的に導出する手法である。

ABSTRACT

We study dimensions of the faces of the cone of nonnegative polynomials and the cone of sums of squares; we show that there are dimensional differences between corresponding faces of these cones. These dimensional gaps occur in all cases where there exist nonnegative polynomials that are not sums of squares. As either the degree or the number of variables grows the gaps become very large, asymptotically the gaps approach the full dimension of the vector space of polynomials in $n$ variables of degree 2d. The gaps occur generically, they are not a product of selecting special faces of the cones. Using these dimensional differences we show how to derive inequalities that separate nonnegative polynomials from sums of squares; the inequalities will hold for all sums of squares, but will fail for some nonnegative polynomials.

研究の動機と目的

• 非負多項式のコーンと二乗の和のコーンの面の次元的構造を調査すること。
• 非負多項式が二乗の和でない場合、2つのコーンの対応する面の間の次元的ギャップを特定および定量化すること。
• 観察された次元的不一致を用いて、二乗の和と非負多項式を区別する明示的な不等式を構築すること。
• 高次元および高次数の設定において、非負多項式と二乗の和を分離するための幾何的・代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 研究は、偶数次 $ 2d $ の $ n $ 変数の同次多項式（形式）に焦点を当て、有限個の点の集合 $ S $ で消失する面を分析する。
• 非負形式が $ S $ で消失するもの $ Pos_{n,2d}(S) $ と、二乗の和であり $ S $ で消失するもの $ Sq_{n,2d}(S) $ の面の次元を比較する。
• 特に、指定された点で消失する形式の部分空間への直交基底と射影を用いた、$ P_{n,2d} $ のベクトル空間分解を用いる。
• 特に $ P_{4,2} $ 上の積分内積を用い、$ \langle f, P_v \rangle = f(v) $ を満たす再構成核 $ P_v $ を定義し、二次形式の明示的計算を可能にする。
• コアとなる技法は、明示的な線形汎関数の構成である：$ M_S(f) = \sum f^2(s_{ij}) $、$ T(f) = \int_{S^3} f^2 d\sigma $、および $ R_S(f) = (f^2(a) - f^2(b))^2 $ を用いて、分離不等式を導出すること。
• 本稿は、すべての $ f \in P_{4,2} $ に対して $ 15M_S(f)T(f) - R_S(f) \geq 0 $ が成り立つことを証明し、15がそのような定数の中で最小であることを示しており、二次形式の固有値分解を用いて証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ消失集合 $ S $ を持つ非負多項式のコーンと二乗の和のコーンの面の間の次元的差は何か？
• RQ2 変数の数 $ n $ もしくは次数 $ 2d $ が増加するにつれて、これらの次元的ギャップはどのように増大するか？
• RQ3 2つのコーンの間の次元的不一致を用いて、非負多項式と二乗の和を分離する明示的な不等式を構築できるか？
• RQ4 すべての $ f \in P_{4,2} $ に対して $ \alpha M_S(f)T(f) - R_S(f) \geq 0 $ が成り立つ最小の定数 $ \alpha $ は何か？

主な発見

• 非負多項式のコーンと二乗の和のコーンの面の間の次元的ギャップは一般に存在し、$ n $ や $ d $ が増加するにつれて、$ P_{n,2d} $ の全次元に漸近的に近づく。
• すべての $ f \in P_{4,2} $ に対して $ \alpha M_S(f)T(f) - R_S(f) \geq 0 $ が成り立つ最小の定数 $ \alpha $ は 15 であり、この値は鋭い。
• 二次形式 $ M_S(f) $ の固有値は 12（重複度 4）および 6（重複度 2）であり、それに対応する直交固有空間が $ P_{4,2} $ 内に存在する。
• 汎関数 $ R_S(f) $ は2つのランク1の二次形式の積として表現可能であり、$ M_S(f) $ の固有基底においてその作用が完全に特徴付けられる。
• 内積 $ \langle f, g \rangle = \int_{S^3} fg d\sigma $ を用いることで、$ \langle f, P_v \rangle = f(v) $ を満たす再構成核 $ P_v $ の明示的計算が可能になる。
• $ P_a + P_b $ を $ P_{ij} $ の張る空間に射影すると $ \frac{1}{6} \sum P_{ij} $ になり、そのノルムの二乗は 22 である。直交成分のノルムの二乗は 10 である。