[論文レビュー] Dimensional reduction, SL(2,C)-equivariant bundles and stable holomorphic chains

Luis Álvarez-Cónsul, Oscar Garcı́a-Prada|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、コンpakto Kahler多様体 $X$ 上の $X \times \mathbb{P}^1$ 上の SL(2,C)-同変バンドルに対する次元削減枠組みを確立し、それが $X$ 上の正則チェーンに対応することを示している。また、Hitchin–Kobayashi対応を証明し、Hermitian-Einstein方程式およびバーガー方程式の解の存在がチェーンの安定性条件と関連することを示しており、同変幾何学を用いた安定な正則チェーンのゲージ理論的特徴付けが得られている。

ABSTRACT

In this paper we study gauge theory on SL(2,C)-equivariant bundles over XxP^1, where X is a compact Kahler manifold, P^1 is the complex projective line, and the action of SL(2,C) is trivial on X and standard on P^1. We first classify these bundles, showing that they are in correspondence with objects on X - that we call holomorphic chains - consisting of a finite number of holomorphic bundles E_i and morphisms E_i->E_{i-1}. We then prove a Hitchin-Kobayashi correspondence relating the existence of solutions to certain natural gauge-theoretic equations and an appropriate notion of stability for an equivariant bundle and the corresponding chain. A central tool in this paper is a dimensional reduction procedure which allow us to go from XxP^1 to X.

研究の動機と目的

• コンパクトKahler多様体 $X$ に対して、$X \times \mathbb{P}^1$ 上のSL(2,C)-同変正則バンドルを分類すること。
• このようなバンドルと、それらの間の正則バンドルおよび写像からなる $X$ 上の正則チェーンとの間の対応を確立すること。
• 同変バンドルおよびそれらに付随するチェーンに対してHitchin–Kobayashi対応を証明し、幾何的構造と安定性を関連させること。
• $X \times \mathbb{P}^1$ 上のゲージ理論的問題を $X$ 上の問題に単純化する次元削減手順を開発すること。

提案手法

• $\mathbb{P}^1$ 上のSL(2,C)作用（$X$ 上では自明）を用い、正則チェーンによる同変バンドルの分類を行う。
• Hermitian-Einstein方程式およびバーガー方程式が $X \times \mathbb{P}^1$ 上で定義されたものと、$X$ 上のものとの間の対応を示す次元削減写像を構成する。
• 正則チェーンの安定性条件を定義し、ベクトルバンドルのスロープ安定性の一般化とする。
• 同変設定におけるKobayashi–Hitchin対応を適用し、Hermitian-Einstein計量の存在が安定性と関連することを示す。
• 正則チェーン構造を用いて削減データを符号化し、写像 $E_i \to E_{i-1}$ がチェーンの成分を形成する。
• ゲージ理論的方程式の解の存在と、対応するチェーンの安定性との同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL(2,C)-同変正則バンドルは、$X$ 上の幾何的データとしてどのように分類できるか？
• RQ2 同変バンドルと $X$ 上の正則チェーンとの間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 同変バンドルおよびそれらに付随するチェーンに対して、Hitchin–Kobayashi型の対応が成立するか？
• RQ4 次元削減は、$X \times \mathbb{P}^1$ 上のゲージ理論的方程式を $X$ 上の問題にどのように単純化するか？
• RQ5 関連する同変バンドルにHermitian-Einstein計量が存在する条件に対応する正則チェーンの安定性条件は何か？

主な発見

• SL(2,C)-同変正則バンドルは、正則バンドル $E_i$ の列と写像 $E_i \to E_{i-1}$ からなる $X$ 上の正則チェーンと一対一に対応する。
• 次元削減手順により、$X \times \mathbb{P}^1$ 上のゲージ理論的方程式を、$X$ 上の等価な方程式に単純化できる。
• スロープ安定性条件の意味で安定な正則チェーンは、関連するHermitian-Einstein方程式およびバーガー方程式の解をもつ。
• 逆に、ゲージ理論的方程式の解が存在するならば、対応する正則チェーンは安定である。
• この対応は完全に函手的であり、バンドルおよびチェーンの幾何的構造を保つ。
• 本結果は、古典的なHitchin–Kobayashi対応を同変バンドルおよび正則チェーンの設定に一般化している。