[論文レビュー] Dimensions of irreducible modules over W-algebras and Goldie ranks

Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、半単純リー代数の普遍包あくり代数の原始的イデアルのゴールディーランクを計算し、積分的中心的特徴に対して、有限W代数上の有限次元既約表現の次元とその等価性を示す。ただし、1次元W代数表現に関する予想に依存する。主な貢献は、W代数のカテゴリカルOに対してカジダン＝ルストゥグ型のキャラクターフォーミュラを提供する一般化されたゾルゲル関手を構築したことである。これにより、次元の明示的計算が可能となり、ジョゼフの1980年代のゴールディーランクプログラムが古典的タイプで完成する。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to compute two related numerical invariants of a primitive ideal in the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra. The first one, very classical, is the Goldie rank of an ideal. The second one is the dimension of an irreducible module corresponding to this ideal over an appropriate finite W-algebra. We concentrate on the integral central character case. We prove, modulo a conjecture, that in this case the two are equal. Also, modulo the same conjecture, we compute certain scale factors introduced by Joseph. Our conjecture asserts that there is a one-dimensional module over the W-algebra with certain additional properties. The conjecture is proved for the classical types. This completes a program of computing Goldie ranks proposed by Joseph in the 80's. We also provide an essentially Kazhdan-Lusztig type formula for computing the characters of the irreducibles in the Brundan-Goodwin-Kleshchev category O for a W-algebra again under the assumption that the central character is integral. The formula is based on a certain functor (a generalized Soegel functor) from an appropriate parabolic category O to the W-algebra category O. We prove a number of properties of this functor including the quotient property and the double centralizer property. We develop several topics related to our generalized Soergel functor. For example, we discuss its analog for the category of Harish-Chandra bimodules. We also discuss generalizations to the case of categories O over Dixmier algebras. The most interesting example of this situation comes from the theory of quantum groups: we prove that an algebra that is basically Luszitg's form of a quantum group at a root of unity is a Dixmier algebra. For this we check that the quantum Frobenius epimorphism splits.

研究の動機と目的

• 積分的中心的特徴を持つ半単純リー代数の普遍包あくり代数における原始的イデアルのゴールディーランクを計算すること。
• 積分的中心的特徴において、ゴールディーランクと有限W代数上の有限次元既約モジュールの次元との等価性を、1次元W代数モジュールに関する予想を除いて確立すること。
• W代数のカテゴリカルOに対してカジダン＝ルストゥグ型のキャラクターフォーミュラを提供する一般化されたゾルゲル関手を構築すること。
• ジョゼフの積分的中心的特徴におけるゴールディーランクプログラムを、古典的タイプで完成させること。
• Dixmier代数および根の単位における量子群の枠組みを拡張し、特定の量子群の商がDixmier代数であることを示すこと。

提案手法

• 論文は、完備化と双対性を用いて定義される関手 $\bullet_{\dagger,e}$ を用いて、放物型カテゴリカルOからW代数のカテゴリカルOへの一般化されたゾルゲル関手 $\mathbb{V}$ を構成する。
• 一般化されたゾルゲル関手 $\mathbb{V}$ が商性、二重中心化性、0-忠実性を満たすことを証明し、これによりカテゴリの本質的構造的特徴を保つことを保証する。
• 主な技術的道具は、W代数とハリシュ・チャンドラ両側加群の完備化であり、関手 $\bullet_{\dagger,e}$ は埋め込み $\iota: V \to \tilde{I}_\chi$ の選択に依存して定義される。
• 論文は、関手 $\mathbb{V}$ が特定の部分カテゴリ間の同値を誘導することを証明し、カジダン＝ルストゥグ型の公式を用いて単純 $\mathcal{W}$-モジュールのキャラクターを計算可能にする。
• 量子フロベニウスの全射が分解し、$\mathcal{A}$ が $\iota(\mathcal{U})$ 上自由であることを示すことにより、根の単位における量子群の商 $\mathcal{A}$ がDixmier代数であることを検証する。
• 主要結果の証明は、特定の性質を持つ1次元 $\mathcal{W}$-モジュールが存在するという予想に依存しており、これは古典的タイプで確認されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分的中心的特徴において、$\mathcal{U}({\mathfrak{g}})$ の原始的イデアルのゴールディーランクは、対応する有限次元既約 $\mathcal{W}$-モジュールの次元に等しいか？
• RQ2 W代数のカテゴリカルOに対して、カジダン＝ルストゥグ型のキャラクターフォーミュラを提供する一般化されたゾルゲル関手を構築できるか？
• RQ3 Dixmier代数とW代数の文脈において、一般化されたゾルゲル関手が二重中心化性を満たすか？
• RQ4 Lusztigの量子群を根の単位でわずかに商した代数 $\mathcal{A}$ はDixmier代数か？
• RQ5 特定の性質を持つ1次元 $\mathcal{W}$-モジュールの存在が、ゴールディーランクとモジュール次元の等価性を示唆するか？

主な発見

• 積分的中心的特徴において、$\mathcal{U}({\mathfrak{g}})$ の原始的イデアルのゴールディーランクは、対応する有限W代数上の有限次元既約モジュールの次元に等しい。ただし、1次元 $\mathcal{W}$-モジュールに関する予想に依存する。
• その予想はすべての古典的タイプで証明され、これらのケースで等価性が確認された。
• 一般化されたゾルゲル関手 $\mathbb{V}$ は二重中心化性と商性を満たし、カテゴリ間の整合的な同値を誘導することが保証される。
• ブルンダン＝グッドウィン＝クレシュチェフのカテゴリカルOにおける単純 $\mathcal{W}$-モジュールに対して、カジダン＝ルストゥグ型のキャラクターフォーミュラが確立され、明示的な次元計算が可能になった。
• 根の単位におけるLusztigの量子群の商 $\mathcal{A}$ はDixmier代数であることが示され、$\mathcal{A}$ は $\iota(\mathcal{U})$ 上自由であり、量子フロベニウスの全射が分解することが確認された。
• 主要結果の証明は、特定の性質を持つ1次元 $\mathcal{W}$-モジュールの存在に依存しており、これは古典的タイプで検証され、ジョゼフの積分的中心的特徴におけるゴールディーランクプログラムが完成した。