[論文レビュー] On category O for cyclotomic rational Cherednik algebras

Iain J. Gordon, Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 48

ひとこと要約

本稿は、型 Gℓ(n) の巡回的有理 Cherednik 代数のカテゴリカル 𝒪 について、導来同値および最高重み同値を確立し、ℤℓ-作用の下で 𝒪ₚ と 𝒪σ(p) が同値であることを証明する。また、p−p′∈ℤ であるとき、𝒪ₚ と 𝒪ₚ′ は導来同値であり、非有理性の条件下では 𝒪ₚ は GL(n) の放棄的カテゴリカル 𝒪 と同値である。これらの結果は、Etingof と Rouquier が提示した表現論およびカテゴリフィケーションに関する予想の特別なケースを確認する。

ABSTRACT

We study equivalences for category O_p of the rational Cherednik algebras H_p of type G_l(n) = μ_l^n times S_n: a highest weight equivalence between O_p and O_{σ(p)} for σ\in S_l and an action of S_l on a non-empty Zariski open set of parameters p; a derived equivalence between O_p and O_{p'} whenever p and p' have integral difference; a highest weight equivalence between O_p and a parabolic category O for the general linear group, under a non-rationality assumption on the parameter p. As a consequence, we confirm special cases of conjectures of Etingof and of Rouquier.

研究の動機と目的

• σ∈𝔖ℓ に対して、カテゴリカル 𝒪ₚ と 𝒪σ(p) の最高重み同値を確立し、パラメータの置換による対称性を示すこと。
• p と p′ が整数ベクトルの差をもつとき、𝒪ₚ と 𝒪ₚ′ の導来同値を構成し、有理 Cherednik 代数表現論における既知の結果を巡回的ケースに一般化すること。
• パラメータ p に対して非有理性の仮定をおくとき、カテゴリカル 𝒪ₚ と GL(n) の放棄的カテゴリカル 𝒪 間の最高重み同値を証明し、Cherednik 代数表現論を古典的リー群表現論に結びつけること。
• 高次元の Fock 空間によるカテゴリフィケーションを通じて、cyclotomic 有理 Cherednik 代数の構造およびそのカテゴリフィケーションに関する Etingof と Rouquier の予想の特別なケースを確認すること。
• 非有理パラメータ条件下でのカテゴリカル 𝒪ₚ 内の有限次元表現の組み合わせ的分類を提供すること。

提案手法

• 商空間 (𝔥×𝔥*)/Gℓ(n) のシンプレクティック解体における Weyl 群作用を活用し、その作用が量子化に引き継がれ、球面的部分代数に対称性を誘導すること。
• シンプレクティック解体上のティルティングバンドルを用いて、解体上の coherent sheaves と ℂ[𝔥×𝔥*] 上の等置換モジュールの間の導来同値を誘導し、非可換設定へと拡張すること。
• 変形量子化上のトーラス作用付き層のカテゴリと Cherednik 代数のトーラス作用付き表現のカテゴリの間の導来同値を構成すること。
• 導来カテゴリをこれらの等置換カテゴリに還元する一連の手続きを用い、導来同値を Cherednik 代数設定へと転送すること。
• 非有理性仮定の下で、高次元のシューア＝ウェイドリー双対性を用いて、型 Gℓ(n) の退化ヘッケ代数を GL(n) の放棄的カテゴリカル 𝒪 と関連付けること。
• 微局所幾何と KZ ファンクターを用いて、球面的カテゴリカル 𝒪 を全カテゴリカル 𝒪 と関連付け、射影ファンクター e:𝒪ₚ→𝒪ₚsph の核を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称群 𝔖ℓ は、巡回的有理 Cherednik 代数のパラメータ空間に作用するか？ その作用により、𝒪ₚ と 𝒪σ(p) 間に最高重み同値が誘導されるか？
• RQ2 p と p′ が整数ベクトルの差をもつとき、カテゴリカル 𝒪ₚ と 𝒪ₚ′ は導来同値か？
• RQ3 非有理パラメータ p に対して、カテゴリカル 𝒪ₚ は GL(n) の放棄的カテゴリカル 𝒪 として実現可能か？ もし可能であれば、明示的な同値は何か？
• RQ4 ファンクター e:𝒪ₚ→𝒪ₚsph の核の構造は何か？ そして、Grothendieck 群とどのように関係するか？
• RQ5 サポートとモノドロミー条件を用いて、非等置換カテゴリの 𝒟α-モジュール内に微局所カテゴリカル 𝒪 を定義できるか？

主な発見

• 著者らは、すべての σ∈𝔖ℓ に対して、𝒪ₚ と 𝒪σ(p) 間の最高重み同値を構成し、パラメータ空間が対称群の対称的作用をもつことを示した。
• p と p′ が整数ベクトルの差をもつとき、𝒪ₚ と 𝒪ₚ′ 間の導来同値を確立し、既知の結果を巡回的ケースへ一般化した。
• パラメータ p が非有理であるという仮定の下で、𝒪ₚ と GL(n) の放棄的カテゴリカル 𝒪 間の最高重み同値を構成し、Cherednik 代数表現論と古典的リー群表現論を明示的に結びつけた。
• 𝒪ₚ と放棄的カテゴリカル 𝒪 間の同値性により、𝒪ₚ 内の既約表現の台の組み合わせ的特徴づけが可能となり、非有理性条件の下での有限次元表現の明確な分類が得られた。
• これらの結果は、Etingof と Rouquier が提示した cyclotomic 有理 Cherednik 代数の構造およびその高次元 Fock 空間によるカテゴリフィケーションに関する予想の特別なケースを確認する。
• 本稿は、サポートとモノドロミー条件を用いた 𝒟α-モジュール内での微局所カテゴリカル 𝒪 の定義の証拠を提供し、特異的または非巡回的設定におけるカテゴリカル 𝒪 の定義の新しい枠組みを示唆する。