[論文レビュー] Diophantine approximation and the geometry of limit sets in Gromov hyperbolic metric spaces

Lior Fishman, David Simmons+1 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Jan 23, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 87被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、一般のGromov双曲的距離空間に作用する強く離散的群の極限集合におけるディオファントス近似の包括的な理論を確立し、古典的な結果（例えば、ハインチンの定理やヤルニク＝ベシコビッチの定理）を幾何的に有限でない群や有限次元でない空間へ一般化する。分割構造とシュミットのゲームを用いた統一的な枠組みを導入し、悪く近似可能な集合が絶対勝ちであることを証明するとともに、群が準凸コアプトでない限り、径方向極限集合のパトゥソン＝シュルツァー測度はゼロであることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we provide a complete theory of Diophantine approximation in the limit set of a group acting on a Gromov hyperbolic metric space. This summarizes and completes a long line of results by many authors, from Patterson's classic '76 paper to more recent results of Hersonsky and Paulin ('02, '04, '07). Concrete examples of situations we consider which have not been considered before include geometrically infinite Kleinian groups, geometrically finite Kleinian groups where the approximating point is not a fixed point of the group, and groups acting on infinite-dimensional hyperbolic space. Moreover, in addition to providing much greater generality than any prior work of which we are aware, our results also give new insight into the nature of the connection between Diophantine approximation and the geometry of the limit set within which it takes place. Two results are also contained here which are purely geometric: a generalization of a theorem of Bishop and Jones ('97) to Gromov hyperbolic metric spaces, and a proof that the uniformly radial limit set of a group acting on a proper geodesic Gromov hyperbolic metric space has zero Patterson--Sullivan measure unless the group is quasiconvex-cocompact. The latter is an application of a Diophantine theorem.

研究の動機と目的

• 強く離散的群が一般のGromov双曲的距離空間に作用する場合に、古典的ディオファントス近似定理（ハインチンの定理やヤルニク＝ベシコビッチの定理など）を拡張すること。
• 幾何的に有限であること、適切性、空間の有限次元性といった制限的仮定を除去し、幾何的に無限のクラインィアン群や無限次元の双曲的空間といった新しい状況をカバーすること。
• 極限集合の構造と近似のディオファントス的性質との間の幾何的関係を明確にし、径方向極限集合のハウスドルフ内容の減衰と、極限集合内の点の近似性質を関連付けること。
• 群が準凸コアプトでない限り、一様径方向極限集合のパトゥソン＝シュルツァー測度がゼロであることを証明し、その際にディオファントス定理を主要な道具として用いること。
• 分割構造とシュミットのゲームを用いた一般枠組みを確立し、分野における先行研究を統合・強化すること。

提案手法

• Gromov双曲的空間の境界に分割構造を構成し、近似ダイナミクスをモデル化し、勝ち集合を定義する。
• シュミットのゲームと絶対勝ちの概念を適用し、径方向極限集合内の任意の $\xi$ に対して、悪く近似可能な点の集合 $\mathrm{BA}_{\xi}$ が絶対勝ちであることを示す。
• ポテンシャル関数ゲームを用いて軌道数え上げ関数の成長を制御し、近似集合の測度に対する漸近的推定を得る。
• パトゥソン＝シュルツァー測度の減衰率と径方向極限集合の次元を関連付けることで、ビショップ＝ジョーンズの定理をGromov双曲的距離空間へ一般化する。
• シュミットのゲームにおける位置戦略を用い、アリスが軌道点回りの $\varepsilon b^{-d(o,g^{-1}(x))}$-球を避けることができることを保証し、結果が悪く近似可能であることを証明する。
• アーフォルズ正則性と一様完備性を活用し、構築された分割構造が $t < s$ に対して $t$-厚いことを確認し、勝ち集合内にアーフォルズ正則部分集合を構成可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ディオファントス近似定理は、一般のGromov双曲的距離空間に作用する任意の強く離散的群にどのように一般化可能か？
• RQ2 径方向極限集合のハウスドルフ内容の減衰と、極限集合内の点のディオファントス近似性質との間の正確な幾何的関係は何か？
• RQ3 一様径方向極限集合が正のパトゥソン＝シュルツァー測度を持つ条件は何か？また、ゼロとなる条件は何か？
• RQ4 シュミットのゲームによる絶対勝ちの概念は、幾何的に有限でない群や非適切空間へ拡張可能か？
• RQ5 分割構造と勝ち集合は、メトリック空間における勝ち集合内にアーフォルズ正則部分集合を構成するために、どの程度まで利用可能か？

主な発見

• 径方向極限集合内の点 $\xi$ に関する悪く近似可能な点の集合 $\mathrm{BA}_{\xi}$ は、空間のGromov境界において絶対勝ちである。
• ヤルニク＝ベシコビッチの定理が一般化され、径方向極限集合内のよく近似可能な点の集合のハウスドルフ次元が、径方向極限集合の内容の減衰率によって決定されることを示した。
• ハインチンの定理がGromov双曲的空間へ拡張され、和 $\sum_{g \in G} \psi(d(o, g^{-1}(x)))$ の収束・発散の基準が近似関数 $\psi$ を用いて定式化された。
• 適切な測地的Gromov双曲的空間に作用する群の、一様径方向極限集合のパトゥソン＝シュルツァー測度は、群が準凸コアプトでない限りゼロである。
• 任意のアーフォルズ $s$-正則メトリック空間と任意の $t < s$ に対して、その極限集合が任意の勝ち集合内にある $t$-厚い分割構造が存在し、これによりそのような集合内にアーフォルズ $t$-正則部分集合が存在することが示された。
• 位置戦略と互いに交わらない球の集合を用いて、シュミットのゲームにおいて勝ち戦略を構築し、結果が軌道点回りの $\varepsilon b^{-d(o,g^{-1}(x))}$-球を避けることを保証した。これにより $\eta \in \mathrm{BA}_{\xi}$ が証明された。