[論文レビュー] Diophantine approximation and the geometry of limit sets in Gromov hyperbolic metric spaces (extended version)

Lior Fishman, David Simmons+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Gromov 超曲空間上の群作用の極限集合におけるディオファントス近似の包括的な理論を確立し、幾何学的に無限大および有限のクライン群、および無限次元超曲空間を含む、先行研究を拡張している。一般化されたビショップ＝ジョーンズの定理を証明し、群が準凸ココンパクトでない限り、一様径方向極限集合はゼロのパトゥソン＝シュルマン測度を持つことを示しており、ディオファントス近似の背後にある深い幾何的・力学的関係を明らかにしている。

ABSTRACT

In this paper, we provide a complete theory of Diophantine approximation in the limit set of a group acting on a Gromov hyperbolic metric space. This summarizes and completes a long line of results by many authors, from Patterson's classic '76 paper to more recent results of Hersonsky and Paulin ('02, '04, '07). Concrete examples of situations we consider which have not been considered before include geometrically infinite Kleinian groups, geometrically finite Kleinian groups where the approximating point is not a fixed point of the group, and groups acting on infinite-dimensional hyperbolic space. Moreover, in addition to providing much greater generality than any prior work, our results also give new insight into the nature of the connection between Diophantine approximation and the geometry of the limit set within which it takes place. Two results are also contained here which are purely geometric: a generalization of a theorem of Bishop and Jones ('97) to Gromov hyperbolic metric spaces, and a proof that the uniformly radial limit set of a group acting on a proper geodesic Gromov hyperbolic metric space has zero Patterson--Sullivan measure unless the group is quasiconvex-cocompact. The latter is an application of a Diophantine theorem.

研究の動機と目的

• Gromov 超曲空間上での群作用の極限集合におけるディオファントス近似に関する先行研究を統合・拡張すること。
• 幾何学的に無限大のクライン群や無限次元超曲空間上での作用を含む、これまで考慮されていなかったケースを扱うこと。
• ディオファントス近似と極限集合の構造との間の本質的幾何的関係を明確にすること。
• ディオファントス理論の帰結として純粋な幾何学的結果を確立し、極限集合の幾何学的理解を深めること。

提案手法

• Patterson と Paulin の手法を一般の Gromov 超曲空間の設定に適応すること。
• パトゥソン＝シュルマン測度を用いて、極限集合内での近似集合のサイズと分布を分析すること。
• 近似フレームワークにおける重要な幾何的対象として、一様径方向極限集合を導入・分析すること。
• 力学的および幾何学的手法を用いて、極限集合の測度論的性質を証明すること。
• Hausdorff次元に関するビショップ＝ジョーンズの定理を Gromov 超曲空間へ一般化すること。
• ディオファントス定理を用いて、一様径方向極限集合におけるパトゥソン＝シュルマン測度の消滅を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群が Gromov 超曲空間上で作用する極限集合におけるディオファントス近似は、特に群が幾何学的に無限大であるか、空間が無限次元である場合にどのように振る舞うか。
• RQ2 極限集合の構造とその点のディオファントス近似性質との間の正確な幾何的関係は何か。
• RQ3 一様径方向極限集合がどの程度パトゥソン＝シュルマン測度を有するか。これは群の力学的性質に何を示唆するか。
• RQ4 実超曲空間を超えて、任意の Gromov 超曲空間へ、ビショップ＝ジョーンズの次元に関する定理を一般化できるか。
• RQ5 この設定において、ディオファントス近似定理が生じさせる幾何的帰結は何か。

主な発見

• proper geodesic Gromov 超曲空間上での群作用の、一様径方向極限集合は、群が準凸ココンパクトでない限り、パトゥソン＝シュルマン測度がゼロである。
• Gromov 超曲空間における Hausdorff 次元に関するビショップ＝ジョーンズの定理の一般化が確立された。
• 本論文は、一般の Gromov 超曲空間上での群作用に対する、極限集合における完全なディオファントス近似理論を提供しており、これまで取り上げられていなかったケースを含む。
• ディオファントス近似と極限集合の幾何学的性質との間の関係は、本質的かつ定量的に重要であることが示された。
• 理論は幾何学的に無限大のクライン群や無限次元超曲空間上での作用に適用可能であり、既知の結果を拡張している。
• 一様径方向極限集合の測度論的性質が、ディオファントス的性質を用いて完全に特徴づけられ、準凸ココンパクト性の新しい幾何的基準が得られた。