[論文レビュー] Dirac Charge Quantization and Generalized Differential Cohomology

Daniel S. Freed|ArXiv.org|Nov 24, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、量子ゲージ理論におけるディラック電荷量子化を定式化するための一般化された微分コホロロジー枠組みを提案する。電気的および磁気的電流をコサイクルとして、ゲージ場をコチェインとして統一的に扱う。この枠組みでは、タイプII超弦理論におけるラムオン＝ラムオン場やタイプIにおける2形式場といった高次形式および自己双対ゲージ場の電荷が、K理論やKO理論といった一般化コホロロジー理論から生じることを示し、異常キャンセレーションが自然に表現されることを示している。

ABSTRACT

The main new result here is the cancellation of global anomalies in the Type I superstring, with and without D-branes. Our argument here depends on a precise interpretation of the 2-form abelian gauge field using KO-theory; then the anomaly cancellation follows from a geometric form of the full Atiyah-Singer index theorem for families of Dirac operators. This is a refined version of the Green-Schwarz mechanism. It seems that a geometric interpretation of this mechanism-the cancellation of local and global fermion anomalies against local and global anomalies in the electric coupling of an abelian gauge field-always proceeds in a similar manner. For example, a previous paper with M. Hopkins (hep-th/0002027) explains the cancellation of anomalies in Type II with D-branes in these terms. The focal point of this paper is a general discussion about abelian gauge fields and Dirac charge quantization. Namely, we argue that quantization of charge is implemented in the functional integral by interpreting abelian gauge fields as cochains in a generalized differential cohomology theory. Our exposition includes elementary examples as well as examples from superstring theory. The mathematical underpinnings of differential cohomology are currently under development; we only give a sketch here. The anomaly cancellation in Type I depends on properties of a certain quadratic form in KO-theory, which we analyze in an appendix written jointly with M. Hopkins. In particular, the usual equation ``Tr R^2 = Tr F^2'' is refined to an equation in the KO-theory of spacetime.

研究の動機と目的

• 通常のコホロロジーを超えた幾何的・位相的枠組みを提供し、量子アーベルゲージ理論におけるディラック電荷量子化を一貫して定式化すること。
• 一般化された微分コホロロジーに基づく単一の形式的枠組みにおいて、電気的および磁気的電流、ゲージ場、およびそれらの結合を統一的に記述すること。
• タイプII超弦理論におけるラムオン＝ラムオン電荷がなぜ通常のコホロロジーではなく、微分K理論によって自然に記述されるのかを説明すること。
• 自己双対ゲージ場およびねじれコホロロジーへとこの形式的枠組みを拡張し、特にバックグラウンドB場を伴うタイプI超弦理論に応用すること。
• タイプI理論におけるグローバルおよびローカル異常が、ゲージ場およびバックグラウンド電荷の微分KO理論枠組み内で自然にキャンセルされることを示すこと。

提案手法

• 一般化された微分コホロロジー理論におけるコサイクルとしてゲージ場および電流をモデル化し、チーバー＝サイトン特性および滑らかなデリーニコホロロジーを基礎的ツールとして用いる。
• 磁気的電流を自明化するコチェインを用いてアーベルゲージ場の作用を定式化し、$dF = j_B$ のマクスウェル方程式を幾何的コホロロジー的恒等式に一般化する。
• 電気的結合項およびその異常を、微分コホロロジー枠組み内での電気的および磁気的電流の二重線形形式として表現する。
• タイプIIおよびタイプI超弦理論におけるバックグラウンド場および電荷制約を記述するため、一般化コホロロジーのねじれ（例：$B$-ねじれ微分$K$-理論）を導入する。
• 高次形式ゲージ場における自己双対性制約を定義するための二次形式を導入し、これにより電気的結合項が同時に2倍にスケーリングされ、異常構造が決定されることを示す。
• 幾何的形でのアティヤ＝シンガー指数定理を適用し、フェルミオン行列式を微分$KO$-理論、$KSp$-理論、または$K$-理論におけるラインバンドルのセクションとして解釈することで、テンソル積の同型写像による異常キャンセレーションを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電荷が通常の整数コホロロジーでは捉えきれない場合、量子ゲージ理論におけるディラック電荷量子化をどのように一貫して定式化できるか？
• RQ2 K理論やKO理論といった一般化コホロロジー理論が、超弦理論におけるラムオン＝ラムオン電荷およびDブレーン電荷を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 10次元超重力理論における自己双対ゲージ場は、標準的な微分コホロロジーを超える精錬された幾何的構造を必要とするのか？
• RQ4 B-ねじれ$K$-理論などの一般化コホロロジー理論のねじれが、なぜタイプIIおよびタイプI理論におけるバックグラウンドフラックスおよび電荷制限を自然に記述するのか？
• RQ5 グリーン＝シュバイザー異常キャンセレーション機構が、微分コホロロジーおよび分配関数の構造の観点から、どのように幾何的に実現されるのか？

主な発見

• タイプII超弦理論におけるラムオン＝ラムオン電荷は、通常のコホロロジーではなく、微分K理論の像によって自然に記述される。これにより、電荷量子化における物理的異常は解消される。
• アーベルゲージ場が電気的および磁気的電流の両方と結合する際の異常は、一般化された微分コホロロジー枠組み内での電流の二重線形形式として表現される。
• 10次元超重力理論における自己双対ゲージ場は、自己双対性制約を定義するための二次形式を必要とし、これにより電気的結合項が2倍にスケーリングされる。
• タイプI超弦理論において、バックグラウンド磁気的電流は自然に微分KOクラスとして解釈され、自己双対性制約は非自明なクラスを中心とする非対称二次形式によって定義される。
• タイプI理論における時空およびベクトルバンドルのコホロロジー的制約は、バックグラウンド電荷を含むKO理論的条件に一般化され、コンact化次元で$r \leq 7$のときでさえ有効である。
• タイプI理論におけるD1-およびD5ブレーンのグローバルおよびローカル異常は、微分KO理論枠組み内で自然にキャンセルされ、KO理論がこのゲージ場に対して正しい一般化コホロロジーである証拠が得られる。