[論文レビュー] Dirac-Kahler equation in curved space-time, relation between spinor and tensor formulations

В. М. Редьков|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2011

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スピン形式からテンソル波動方程式を導出し、スピン形式とテンソル形式の間の同等性を示すことにより、曲がった時空におけるディラック＝カーラー方程式の一般共変な形式を確立する。一般共変性の下で、ディラック＝カーラー場はスカラー、擬スカラー、ベクトル、擬ベクトル成分に分解され、四元形式や座標に基づく擬テンソル分類を用いて導かれる制約条件により、曲がった幾何における4つのボソン粒子種（スピン0およびスピン1）に対して一貫した波動方程式が得られる。

ABSTRACT

A common view is that generalization of a wave equation on Riemannian space-time is substantially determined by what a particle is - boson or fermion. As a rule, they say that tensor equations for bosons are extended in a simpler way then spinor equations for fermions. In that context, a very interesting problem is of extension a wave equation for Dirac--Kähler field (Ivanenko--Landau field was historically first term, also the term a vector field of general type was used). The article relates a generally covariant tensor formalism to a spinor one when these both are applied to description of the Dirac-Kähler field in a Rimannian space-time. Both methods are taken to be equivalent and the tensor equations are derived from spinor ones. It is shown that, for characterization of Dirac-Kähler's tensor components, two alternative approaches are suitable: these are whether a tetrad-based pseudo tensor classification or a generally coordinate pseudo tensor one. By imposing definite restrictions on the the Dirac-Kähler function, we have produced the general covariant form of wave equations for scalar, pseudoscalar, vector, and pseudovector particles.

研究の動機と目的

• リーマン時空におけるディラック＝カーラー方程式の一般共変テンソル形式を確立すること。
• 曲がった幾何におけるディラック＝カーラー場のスピン形式とテンソル形式の同等性を示すこと。
• 四元形式に基づくおよび座標に基づく擬テンソルアプローチの両方を用いて、場の成分をスカラー、擬スカラー、ベクトル、擬ベクトル粒子に分類すること。
• 一般共変性の下で、各粒子種（スピン0およびスピン1）に対して一貫した波動方程式を導出すること。
• ミンコフスキー時空における4つのボソン場を分離する制約が、曲がった時空でも有効であることを示すこと。

提案手法

• ディラック行列展開 $ U(x) = [-i\Psi + \gamma^l \Psi_l + i\sigma^{mn} \Psi_{mn} + \gamma^5 \tilde{\Psi} + i\gamma^l\gamma^5 \tilde{\Psi}_l] E^{-1} $ を用いて、16成分のスピンルーブ波動関数からテンソル成分を導出する。
• 偏微分を共変微分 $ \partial_a \to \nabla^\alpha $ に置き換えることにより、一般共変性を適用し、曲がった時空でもローレンツ構造を保存する。
• 四元形式に基づくおよび座標に基づく擬テンソル分類を用いて、場の成分およびそれらの固有のパリティを特徴付ける。
• スカラー、擬スカラー、ベクトル、擬ベクトル場を分離するために、ディラック＝カーラー関数に制約を課す。
• それぞれの場に対して4セットの波動方程式を導出する：スカラーおよび擬スカラーにはプローカ型、ベクトルおよび軸性ベクトルにはライトラ＝シュミンガー型の波動方程式を用いる。
• 共変微分の交換子およびリーマンテンソルの項を用いて、制約（例：$ \nabla^\alpha \Psi_\alpha = 0 $）が曲がった時空でも恒等的に成り立つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック＝カーラー場を一般共変なテンソル形式を用いて、曲がった時空に一貫して拡張することは可能か？
• RQ2 一般リーマン的背景におけるディラック＝カーラー方程式のスピン形式とテンソル形式の間の明確な関係は何か？
• RQ3 四元形式に基づくか座標に基づく擬テンソル形式のどちらが、場の成分の物理的解釈をより良く保存するか？
• RQ4 ミンコフスキー時空におけるスカラー、擬スカラー、ベクトル、擬ベクトル場を分離する制約は、曲がった時空でも有効であるか？
• RQ5 一般共変なディラック＝カーラー方程式から、4つのボソン粒子種（スピン0およびスピン1）の波動方程式を一貫して導出可能か？

主な発見

• 一般共変性を用いて、曲がった時空におけるディラック＝カーラー場のテンソル波動方程式がスピン形式から導出され、$ \partial_a \to \nabla^\alpha $ となる。
• スカラーおよび擬スカラー場はそれぞれプローカ方程式を満たす：$ \nabla^\alpha \Psi_\alpha + m\Psi = 0 $ および $ \nabla^\alpha \tilde{\Psi}_\alpha + m\tilde{\Psi} = 0 $。
• ベクトルおよび擬ベクトル場は、共変微分とリーマン・レヴィ・チビタテンソルを含む方程式に従う：$ \nabla_\alpha \Psi + \nabla^\beta \Psi_{\alpha\beta} - m\Psi_\alpha = 0 $ および $ \tilde{\nabla}_\alpha \tilde{\Psi} - \frac{1}{2} \epsilon^{\beta\rho\sigma}_\alpha \nabla_\beta \Psi_{\rho\sigma} - m\tilde{\Psi}_\alpha = 0 $。
• リーマンテンソルの対称性のおかげで、$ \nabla^\alpha \Psi_\alpha = 0 $ や $ \nabla^\alpha \tilde{\Psi}_\alpha = 0 $ といった制約が、曲がった時空でも恒等的に成り立つ。
• 一般共変性の下で、スカラー、擬スカラー、ベクトル、擬ベクトルに分離される4つのボソン場の構造は保存され、ミンコフスキー時空と同一の制約が適用される。
• 四元形式の使用により、任意の曲がった時空モデルにおいて、離散的ローレンツ対称性（特に固有パリティ）を一貫して取り扱える。