[論文レビュー] Dirac operators for coadjoint orbits of compact Lie groups

Marc A. Rieffel|ArXiv.org|Dec 15, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、スピン^c 群を避けて、リーマン接続と複素構造を用いて、コンパクトなリー群の共伴軌道上におけるディラック作用素のグローバルで座標に依存しない構成を提供する。一般の G-不変接続におけるディラック作用素の形式的自己共役性の必要十分条件を導出し、ほぼヘルミートな同次空間へと拡張し、非可換幾何学および高エネルギー物理学の文脈におけるディラック作用素の理解を明確にする。

ABSTRACT

The coadjoint orbits of compact Lie groups carry many Kähler structures, which include a Riemannian metric and a complex structure. We provide a fairly explicit formula for the Levi-Civita connection of the Riemannian metric, and we use the complex structure to give a fairly explicit construction of a canonical Dirac operator for the Riemannian metric, in a way that avoids use of the Spin^c groups. Substantial parts of our results apply to compact almost-Hermitian homogeneous spaces, and to other connections besides the Levi-Civita connection. For these other connections we give a criterion that is both necessary and sufficient for their Dirac operator to be formally self-adjoint. We hope to use the detailed results given here to clarify statements in the literature of high-eneregy physics concerning "Dirac operators" for matrix algebras that converge to coadjoint orbits. To facilitate this we employ here only global methods -- we never use local coordinate charts, and we use the cross-section modules of vector bundles.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群の共伴軌道上におけるディラック作用素の座標に依存しないグローバルな構成を、スピン^c 群に依存しない幾何的構造を用いて行う。
• 共伴軌道にケーラー構造を備えた場合のリーマン接続の明示的公式を導出する。
• ほぼヘルミートな同次空間上で、G-不変かつ複素構造と相性の良い接続から構成されたディラック作用素の形式的自己共役性の必要十分条件を確立する。
• 高エネルギー物理学の文脈において、行列代数上のディラック作用素が共伴軌道に収束する仕組みを、非可換幾何学の道具を用いて解明する。
• スピン多様体を超える結果を得るため、ねじれ付きスピン^c 構造と同型群 K のユニタリ表現を用いる。

提案手法

• 局所座標系ではなく、ベクトル束のクロスセクションモジュールを用いることで、非可換幾何学との整合性を保つ。
• 接続束およびスピン角束の標準的モジュールフレームを用いて、代数的にディラック作用素を定義する。
• 共伴軌道のケーラー構造が誘導するリーマン計量を用いて、リーマン接続の公式を導出する。
• 複素構造を用いて、スピン^c 群に言及せずに、自然なスピン^c 構造およびその関連するディラック作用素を構成する。
• 一般接続下でのディラック作用素の形式的自己共役性を判定するため、$\sum_p L_{\hat{X}_p}(e)(S^{-1/2}Y_p) = 0$ を含むねじれに基づく基準を導入する。
• 元の作用素が自己共役でない場合に形式的自己共役性を保証するために、修正されたディラック作用素 $\tilde{D}^\nabla = D^\nabla - \frac{1}{2}(M - M^*)$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群の共伴軌道上におけるディラック作用素を、スピン^c 群に依存しない方法でどのように構成できるか？
• RQ2 ケーラー構造を備えた共伴軌道上におけるリーマン接続の明示的形は何か？
• RQ3 ほぼヘルミートな同次空間上で、G-不変かつ J-相性の良い接続から構成されたディラック作用素が、どのような条件下で形式的に自己共役になるか？
• RQ4 高エネルギー物理学および非可換幾何学の文脈において、行列代数上のディラック作用素と共伴軌道上のディラック作用素の関係は何か？
• RQ5 ねじれ付きスピン^c 構造および同型群 K のユニタリ表現は、非スピン共伴軌道上におけるディラック作用素の構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 局所座標を避けて、グローバルなモジュールフレームを用いた、共伴軌道上におけるリーマン接続の完全な明示的公式が導出された。
• スピン^c 群に言及せず、複素構造とリーマン計量のみを用いて、共伴軌道上のケーラー構造に対する自然なディラック作用素が構成された。
• ディラック作用素の形式的自己共役性の必要十分条件が確立された：$\sum_p L_{\hat{X}_p}(e)(S^{-1/2}Y_p) = 0$、ここで $\{Y_p\}$ は $\mathfrak{m}$ の $g_0$-正規直交基底である。
• この基準は、スピンの場合のIkeda (2005) の結果と同値であることが示され、深い構造的類似性が明らかになった。
• 元の作用素が自己共役でない場合に形式的自己共役性を保証するために、修正されたディラック作用素 $\tilde{D}^\nabla = D^\nabla - \frac{1}{2}(M - M^*)$ が構成された。
• 結果は、共伴軌道に限らず、広いクラスのほぼヘルミートな同次空間に適用可能であり、高エネルギー物理学における行列代数の極限で用いられるディラック作用素の幾何的起源を明確にした。