[論文レビュー] Dirac structures of omni-Lie algebroids

Zhuo Chen, Zhangju Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、オムニリーダイ・アーベイドロイドにおける可約なディラック構造と、$\mathcal{T} = TM \oplus E$ 内の射影的リーモジュールの間の一対一対応を確立し、このような構造が還元理論を通じて $E$ 上のリーモジュール構造を符号化することを示している。さらに、ディラック構造の正規化子が関連する射影的リーモジュールの導出代数と関係し、コホモロジー群 $\mathrm{H}^1(L,\rho_L)$ と $\mathrm{H}^2(L,\rho_L)$ がそれぞれディラック構造の正規化子と変形理論に関連していることを示している。

ABSTRACT

Omni-Lie algebroids are generalizations of Alan Weinstein's omni-Lie algebras. A Dirac structure in an omni-Lie algebroid $\dev E\oplus \jet E$ is necessarily a Lie algebroid together with a representation on $E$. We study the geometry underlying these Dirac structures in the light of reduction theory. In particular, we prove that there is a one-to-one correspondence between reducible Dirac structures and projective Lie algebroids in $\huaT=TM\oplus E$; we establish the relation between the normalizer $N_{L}$ of a reducible Dirac structure $L$ and the derivation algebra $\Der(\pomnib (L))$ of the projective Lie algebroid $\pomnib (L)$; we study the cohomology group $\mathrm{H}^\bullet(L,ρ_{L})$ and the relation between $N_{L}$ and $\mathrm{H}^1(L,ρ_{L})$; we describe Lie bialgebroids using the adjoint representation; we study the deformation of a Dirac structure $L$, which is related with $\mathrm{H}^2(L,ρ_{L})$.

研究の動機と目的

• 一般のディラック構造の幾何学的・代数的構造を、オムニリーダイ代数の一般化であるオムニリーダイ・アーベイドロイドにおいて理解すること。
• 還元理論を通じて、ディラック構造がベクトル束 $E$ 上のリーモジュール構造をどのように符号化するかを明確にすること。
• $\mathcal{T} = TM \oplus E$ 内の可約ディラック構造と射影的リーモジュールの間の一対一対応を確立すること。
• 可約ディラック構造の正規化子が関連する射影的リーモジュールの導出代数とどのように関係するかを明らかにすること。
• $\mathrm{H}^\bullet(L,\rho_L)$ のコホモロジーとその変形理論における役割を研究すること。

提案手法

• すべての $E$ 上のリーモジュール構造を符号化する一般化されたコーアント・アーベイドロイドであるオムニリーダイ・アーベイドロイド $\mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$ を導入する。
• 射影 $\mathbf{b}(L)$ が $\mathcal{T} = TM \oplus E$ 内の正則部分バンドルであるような、$\mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$ 内の可約ディラック構造 $L \subset \mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$ を定義する。
• セクションの正規化子 $N_L$ と射影的リーモジュール $\mathbf{b}(L)$ の導出を関係付けるため、$X \mapsto X_\bullet$ という落下作用素を用いる。
• ディラック構造 $L$ における $E$ 上の表現 $\rho_L: L \to \mathfrak{D}E$ を構成し、コホモロジー $\mathrm{H}^\bullet(L, \rho_L)$ の定義を可能にする。
• $\mathrm{H}^1(L, \rho_L)$ と $\mathrm{H}^2(L, \rho_L)$ のコホモロジー群がそれぞれ $L$ の正規化子と変形にどのように関係するかを関係づける。
• 変形の特徴づけに $T^X$ 演算子を用い、$T^X = 0$ が可積分性の必要条件であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オムニリーダイ・アーベイドロイドにおける一般のディラック構造の幾何的意味は何か？
• RQ2 可約ディラック構造は $\mathcal{T} = TM \oplus E$ 内の射影的リーモジュールとどのように関係するか？
• RQ3 可約ディラック構造 $L$ の正規化子 $N_L$ と関連する射影的リーモジュールの導出代数 $\mathrm{Der}(\mathbf{b}(L))$ の正確な関係は何か？
• RQ4 ディラック構造のコホモロジー $\mathrm{H}^\bullet(L, \rho_L)$ は、その正規化子および変形理論とどのように関係するか？
• RQ5 $X \in \Gamma(\mathcal{E})$ のどの条件が、射影的リーモジュール $A = \mathbf{b}(L)$ の変形を誘導するか？

主な発見

• 定理 3.7 で示されるように、オムニリーダイ・アーベイドロイド $\mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$ 内の可約ディラック構造と $\mathcal{T} = TM \oplus E$ 内の射影的リーモジュールの間には一対一対応が存在する。
• $N_{L^A}$ 内の任意の $X$ に対して、落下作用素 $X_\bullet$ は $\mathrm{Der}(A)$ の要素に写像され、逆に $\mathrm{Der}(A)$ のすべての導出は $N_{L^A}$ 内の要素に引き上げられる。これにより、$N_{L^A}$ と $\mathrm{Der}(A)$ の間のリー代数同型が確立される。
• 可約ディラック構造 $L$ の正規化子 $N_L$ は $\mathrm{H}^1(L, \rho_L)$ に同型であり、幾何的対称性とコホモロジー的データを結びつける。
• 射影的リーモジュール $A$ の変形は $\mathrm{H}^2(L, \rho_L)$ によって支配され、障害は落下作用素を介して定義されるテンソル $T^X$ によって制御される。
• バンドル写像 $\Omega: A \wedge A \to A \cap E$ が $A$ の変形を生成するための必要十分条件は、$T^X$ が (30) 式のジャコビ型恒等式を満たすことであり、このような $\Omega$ は方程式 (29) を通じて $X \in N_{L^A}$ から得られる。
• $X_\bullet$ は $A$ 上でニエンヘイズ作用素のように作用し、$X_\bullet$ がバンドル写像であるための必要十分条件は $X \in \Gamma(\mathrm{Hom}(\mathcal{T}, E))$ であることであり、このとき $T^X = 0$ ならば $X_\bullet$ はニエンヘイズ作用素である。