[論文レビュー] Generalizing Geometry - Algebroids and Sigma Models

Alexei Kotov, Thomas Strobl|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、一般化幾何学—特にリー代数とコーラント代数—とトポロジカルシグマ模型、特にAKSZおよびディラック・シグマ模型との間に深い関係を確立する。AKSZ構成がQP多様体を介してチェーン＝シモンズ理論を一般化することを示し、作用関数がターゲット空間上の標準的1形式の引き戻しとして得られることを示し、代数的構造とディラック構造に基づく幾何的枠組みにおいて、高次ゲージ理論と特性類を統一的に扱う。

ABSTRACT

In this contribution we review some of the interplay between sigma models in theoretical physics and novel geometrical structures such as Lie (n-)algebroids. The first part of the article contains the mathematical background, the definition of various algebroids as well as of Dirac structures, a joint generalization of Poisson, presymplectic, but also complex structures. Proofs are given in detail. The second part deals with sigma models. Topological ones, in particular the AKSZ and the Dirac sigma models, as generalizations of the Poisson sigma models to higher dimensions and to Dirac structures, respectively, but also physical ones, that reduce to standard Yang Mills theories for the "flat" choice of a Lie algebra: Lie algebroid Yang Mills theories and possible action functionals for nonabelian gerbes and general higher gauge theories. Characteristic classes associated to Dirac structures and to higher principal bundles are also mentioned.

研究の動機と目的

• トポロジカルシグマ模型とリー代数、コーラント代数、ディラック構造などの一般化幾何的構造を統一すること。
• AKSZ構成を、QP多様体をターゲット空間とする高次元シグマ模型に一般化すること。
• 高次ゲージ理論における特性類が、Q多様体上のチェーン＝ヴァイユ形式主義からどのように生じるかを示すこと。
• AKSZシグマ模型の作用関数が、ターゲットQP多様体上の標準的1形式の引き戻しであることを確立すること。
• 非可積分的リー代数的束ですら、ポアソンシグマ模型など意味のあるトポロジカルシグマ模型を支えることができることを示すこと。

提案手法

• QP多様体の次数d−1をターゲット空間とするトポロジカルシグマ模型をAKSZ方式で構成する。
• Q多様体形式主義を用いて、チェーン＝シモンズ作用を、次数1のQ多様体Ẽ₂のT*[d−1]Ẽ₂上の標準的1形式の引き戻しとして一般化する。
• シューテン＝ニーレンフイズ括弧とねじれ付きポアソン条件を用いて、ディラック構造を、ポアソン、プレシンプレクティック、複素構造の共通一般化として導入する。
• リー代数上の不変対称双線形形式と特性類を結びつけるチェーン＝ヴァイユ形式主義に依拠し、その形式をシフトされたリー代数上のシンプレクティック形式として解釈する。
• 微分の鎖的性質とQ構造のハミルトニアン上昇を用いて、AKSZ作用関数がターゲットQP多様体上のシンプレクティック形式の引き戻しの積分に等しいことを確立する。
• リー代数的接続と曲率を考察することで、ヤン＝ミルズ型理論に適用し、標準ヤン＝ミルズ理論を高次ゲージ理論に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化幾何的構造、例えばディラック代数やコーラント代数は、どのようにトポロジカルシグマ模型から生じるか？
• RQ2 QP多様体とシンプレクティック形式の観点から、AKSZシグマ模型の作用関数の正確な幾何的起源は何か？
• RQ3 高次ゲージ理論における特性類は、チェーン＝シモンズ作用とQ多様体の幾何学とどのように関係するか？
• RQ4 非可積分的リー代数的束である場合でも、トポロジカルシグマ模型を一貫して定義できるか？
• RQ5 Q多様体の余接 bundle 上の標準的1形式は、AKSZモデルの作用関数を生成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 境界Σをもつ(d+1)次元多様体上のAKSZシグマ模型の作用関数は、式(8.16)で示されるように、ターゲットQP多様体M₂上のシンプレクティック形式ωの引き戻しの積分に等しい。
• AKSZ作用は、写像fによるT*[d−1]Ẽ₂上の標準的1形式の引き戻しとして表現でき、その微分がf*ωにより作用関数を与える。これはコロナリー8.2で示されている。
• リー代数gと不変計量κに対するチェーン＝ヴァイユ写像は、g[1]上の次数2のシンプレクティック形式ωに対応し、第二チャーン類を高次形式に一般化する。
• AKSZ構成は、リー代数から生じるQP多様体に限らず、任意のQP多様体に対して、ポントリャーギン類とチェーン＝シモンズ理論の関係を一般化する。
• 非可積分のターゲットポアソン多様体に対してもポアソンシグマ模型はトポロジカルかつ適切に定義され、Qバンドル形式主義が可積分群倉の図像よりも一般であることを示唆する。
• ターゲットQP多様体がシフトされたリー代数的束であるとき、リー代数的ヤン＝ミルズ理論と非アーベルゲイジが自然にAKSZ枠組みから生じ、高次ゲージ理論の統一的作用原理を提供する。