[論文レビュー] Dirac structures on generalized Riemannian manifolds

Izu Vaisman|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は一般化リーマン多様体上のディラック構造を調査し、Gualtieriの標準接続に関して保存されるものを特徴づけ、一般化接続構造の像として生じるディラック構造を同定する。主な結果として、このような構造はシンプレクティックリーマン代数的構造を備え、一般化計量と整合する場合には、Kähler型幾何をもたらす。これは、標準接続と可積分性条件を通じて、一般化複素構造とリーマン構造を統一する。

ABSTRACT

We characterize the Dirac structures that are parallel with respect to Gualtieri's canonical connection of a generalized Riemannian metric. On the other hand, we discuss Dirac structures that are images of generalized tangent structures. These structures turn out to be Dirac structures that, if seen as Lie algebroids, have a symplectic structure. Particularly, if compatibility with a generalized Riemannian metric is required, the symplectic structure is of the Kaehler type.

研究の動機と目的

• Gualtieriの標準接続に関して平行である一般化リーマン多様体上のディラック構造を特徴づける。
• 一般化接続構造の像として生じるディラック構造とその幾何的性質を研究する。
• このようなディラック構造が一般化リーマン計量と整合するための条件を確立する。
• 一般化計量と整合することにより、ディラック構造上にKähler型シンプレクティック構造が得られることを示す。
• 標準接続と可積分性条件を通じて、一般化複素構造、リーマン構造、シンプレクティック構造を統一する。

提案手法

• 一般化リーマン計量Gを用いて、ビッグ接続 bundle T M に標準接続∇を定義し、中立計量gおよびG-計量条件と整合することを保証する。
• テンソル場 F_E ∈ Iso(TM) を用いてディラック構造Eを表現し、∇に関する可積分性および平行性条件を導出する。
• 一般化接続構造τを用いて写像τ: E → TMを定義し、EからTMへのシンプレクティック構造ω_Eをτを介して移す。
• Eに誘導される接続∇′がシンプレクティック形式ω_Eおよび計量G|_Eを保存することを確立し、これによりE上のLevi-Civita接続が得られることを示す。
• Gualtieriのねじれ公式を適用し、一般化2-nilpotent構造τの可積分性の必要十分条件を導出し、ねじれ成分の消滅と関連付ける。
• G-計量と∇に可換で、可積分な構造τが存在するならば、E-接続はねじれがなく、複素構造λを保存し、Kähler型幾何をもたらすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化リーマン多様体上のどのディラック構造がGualtieriの標準接続によって保存されるか？
• RQ2 ディラック構造が一般化接続構造の像であるとき、どのような幾何的構造が生じるか？
• RQ3 どのような条件下で、ディラック構造上のシンプレクティック形式がKähler型構造を誘導するか？
• RQ4 この文脈において、標準接続は一般化複素構造およびパラヘルミート構造とどのように作用するか？
• RQ5 Gualtieriのねじれは、一般化2-nilpotent構造の可積分性を特徴づけるために果たす役割は何か？

主な発見

• 標準接続∇に関して保存されるディラック構造は、関連するテンソル場F_Eが接続と可換であり、Courant括弧を用いた可積分性を満たすという条件によって特徴づけられる。
• 一般化接続構造の像として生じるディラック構造は、Courant括弧に関してシンプレクティックリーマン代数的構造を備え、リーマン代数的意味でシンプレクティックである。
• このようなシンプレクティックディラック構造が一般化リーマン計量Gと整合する場合、シンプレクティック形式はKähler型となり、複素構造および計量と整合することが示唆される。
• 誘導されたE-接続はE上のLevi-Civita接続であり、ねじれがなく、計量G|_EおよびE上の複素構造λを両方保存する。
• ビッグ接続∇が可換で、可積分な一般化2-nilpotent構造τと可換であるための必要十分条件は、∇がEを保存し、Eに∇′を誘導してω_Eを保存することであり、E⊥_g上およびE外の成分で特定のねじれの消滅条件を満たすことである。
• τの可積分性は、X,Y,Z ∈ E⊥_g に対してGualtieriのねじれ成分T∇(X,Y,Z)が消えることと、E⊥_gに属さない引数に対して巡回和条件が成り立つことと同値である。