[論文レビュー] Lectures on Generalized Complex Geometry and Supersymmetry

Maxim Zabzine|arXiv (Cornell University)|May 15, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 47

ひとこと要約

この論文は、$N=(2,2)$シグマ模型および弦理論の文脈において、2次元場の理論におけるシンプレクティック構造と複素構造を統一する枠組みとして一般化された複素幾何学を導入する。量子 $N=(2,2)$ シグマ模型が、(ねじれ付きの) 一般化されたカラビ・ヤウ多様体であることを確立し、トポロジカル場理論における演算子-状態対応が、リー代数的コホモロジーとドレーブールコホモロジーの同型写像によって実現されることを示している。

ABSTRACT

These are the lecture notes from the 26th Winter School "Geometry and Physics", Czech Republic, Srni, January 14 - 21, 2006. These lectures are an introduction into the realm of generalized geometry based on the tangent plus the cotangent bundle. In particular we discuss the relation of this geometry to physics, namely to two-dimensional field theories. We explain in detail the relation between generalized complex geometry and supersymmetry. We briefly review the generalized Kahler and generalized Calabi-Yau manifolds and explain their appearance in physics.

研究の動機と目的

• バンドル $TM \oplus T^*M$ を用いて、複素構造とシンプレクティック構造の統一として一般化された複素幾何学を導入すること。
• 2次元場の理論における一般化された複素構造と超対称性の関係を確立すること。
• $N=(2,2)$ シグマ模型のワールドーシート記述において、一般化されたケーラー多様体および一般化されたカラビ・ヤウ多様体がどのように現れるかを示すこと。
• (ねじれ付きの) 一般化されたカラビ・ヤウ多様体上で、リー代数的コホモロジーとドレーブールコホモロジーの同型写像によって、トポロジカル場理論における演算子-状態対応が生じることを示すこと。

提案手法

• 論文は、ストリングの位相空間 $T^*\mathcal{L}M$ 上でのハミルトニアン形式を用いて、ワールドーシート理論から一般化幾何学的構造を導出する。
• 一般化された複素幾何学の基礎的な幾何的構造として、$TM \oplus T^*M$ 上のコーエント括弧を導入する。
• 一般化された複素構造 $\mathcal{J}$ は、$TM \oplus T^*M$ 上の自己準同型として定義され、$\mathcal{J}^2 = -1$ を満たし、コーエント括弧による整合性条件を満たす。
• BRST作用素 $\mathbf{q}$ は、一般化された複素構造を用いて構成され、純粋スピンオービタルの実現により、フォック空間 $\Omega(M)$ 上に作用する。
• 基底の変換 $ (\lambda^\mu, \rho_\mu) $ から $ (\xi^A, \bar{\xi}_A) $ への変更を、$\mathcal{J}$ の $ \pm i $-固有バンドルに適合させ、コホモロジー的記述を得る。
• 鍵となる式 $ \mathbf{q} \sim p_\mu \rho^{\mu A} \xi_A + f^{AB}_C \xi_A \xi_B \bar{\xi}^C $ は、BRST作用を記述し、リー代数的コホモロジー $ H(d_L) $ を誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された複素幾何学は、2次元場の理論における複素構造とシンプレクティック構造をどのように統一するか？
• RQ2 一般化された複素構造は、$N=(2,2)$ シグマ模型のハミルトニアン形式において、どのように機能するか？
• RQ3 ストリングの位相空間上のBRST作用素 $\mathbf{q}$ は、一般化幾何学およびコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 量子 $N=(2,2)$ シグマ模型における演算子-状態対応を実現するための、被覆多様体に必要な条件は何か？
• RQ5 トポロジカル場理論および一般化されたカラビ・ヤウ多様体の文脈において、同型写像 $ H(d_L) \sim H(\bar{\partial}) $ の意味は何か？

主な発見

• 量子 $N=(2,2)$ シグマ模型では、演算子-状態対応によって、被覆多様体 $M$ が (ねじれ付きの) 一般化されたカラビ・ヤウ多様体でなければならないことが示された。
• (ねじれ付きの) ワーク・一般化されたカラビ・ヤウ多様体に対して、リー代数的コホモロジー $ H(d_L) $ とドレーブールコホモロジー $ H(\bar{\partial}) $ の同型写像が確立された。
• BRST作用素 $\mathbf{q}$ が $ (\xi^A, \bar{\xi}_A) $ 基底で表現されると、$ \Omega(M) $ 上に作用し、コホモロジー $ H(\bar{\partial}) $ を誘導する。これにより、状態のヒルベルト空間と結びつく。
• 一般化された複素構造 $\mathcal{J}$ は、$TM \oplus T^*M$ 上に存在し、コホモロジーの整合性がコーエント括弧によって定義され、複素幾何学とシンプレクティック幾何学の統一的記述を提供する。
• $N=(2,2)$ シグマ模型の基底状態は $ H(d_L) $ の要素に対応し、演算子-状態対応は同型写像 $ H(d_L) \sim H(\bar{\partial}) $ によって実現される。
• 解析により、量子 $N=(2,2)$ モデルが整合的であるためには、一般化された複素構造 $ \mathcal{J}_1 $ と $ \mathcal{J}_2 $ が両方とも (ねじれ付きの) 一般化されたカラビ・ヤウ構造を定義しなければならないことが示された。