[論文レビュー] DIRECTED ALGEBRAIC TOPOLOGY AND HIGHER DIMENSIONAL TRANSITION SYSTEMS

Philippe Gaucher|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、方向付き代数的トポロジーを用いて、高次元遷移系のカテゴリカルな枠組みを導入し、ラベル付きn次元立方体が自由な高次元遷移系を生成することを示している。これらの系の局所化とラベル付き対称プリキューブセットの反射的部分カテゴリの間の同値性を確立し、流れを通じてミルナーのCCSやその他のプロセス代数をモデル化するためにこの構成を応用している。

ABSTRACT

Cattani-Sassone's notion of higher dimensional transition system is interpreted as a small-orthogonality class of a locally finitely presentable topological category of weak higher dimensional transition systems. In particular, the higher dimensional transition sys- tem associated with the labelled n-cube turns out to be the free higher dimensional transition system generated by one n-dimensional transition. As a first application of this construc- tion, it is proved that a localization of the category of higher dimensional transition systems is equivalent to a locally finitely presentable reflective full subcategory of the category of labelled symmetric precubical sets. A second application is to Milner's calculus of commu- nicating systems (CCS): the mapping taking process names in CCS to flows is factorized through the category of higher dimensional transition systems. The method also applies to other process algebras and to topological models of concurrency other than flows.

研究の動機と目的

• 局所的に有限生成可能なトポロジカルカテゴリ内の小さな直交性クラスとして高次元遷移系を形式化すること。
• ラベル付きn次元立方体が1つのn次元遷移によって生成される自由な高次元遷移系を生成すること。
• 高次元遷移系の圏の局所化が、ラベル付き対称プリキューブセットの圏の反射的フル部分カテゴリに同値であることを確立すること。
• CCSのプロセス名から流れへの写像を、高次元遷移系の圏を通じて因数分解すること。
• この枠組みを、流れを超える他のプロセス代数およびトポロジカルな並行実行モデルへと拡張すること。

提案手法

• 弱い高次元遷移系の局所的に有限生成可能なトポロジカルカテゴリ内の小さな直交性クラスとして高次元遷移系を解釈すること。
• ラベル付きn次元立方体を生成子として用い、n次元遷移1つによって生成される自由な高次元遷移系を構成すること。
• 高次元遷移系の圏に局所化技術を適用し、ラベル付き対称プリキューブセットの圏の反射的部分カテゴリと同値にすること。
• CCSのプロセス名から流れへの写像を、高次元遷移系の圏を通じて因数分解する定義をすること。
• この枠組みのカテゴリカル構造を活用して、他のプロセス代数およびトポロジカルな並行実行モデルへと方法を拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元遷移系は、うまく整った圏内の小さな直交性クラスとしてどのように形式的に構成できるか？
• RQ2 ラベル付きn次元立方体は、自由な高次元遷移系を生成するという意味で、カテゴリカルにどのような役割を果たすか？
• RQ3 高次元遷移系の圏の局所化が、ラベル付き対称プリキューブセットの圏の反射的フル部分カテゴリに同値であるか？
• RQ4 ミルナーの通信可能システムの記法（CCS）は、流れを通じてこの枠組みにどのように埋め込まれるか？
• RQ5 このカテゴリカルな構成は、他のプロセス代数およびトポロジカルな並行実行モデルへどの程度一般化できるか？

主な発見

• ラベル付きn次元立方体に付随する高次元遷移系は、1つのn次元遷移によって生成される自由な高次元遷移系である。
• 高次元遷移系の圏の局所化は、ラベル付き対称プリキューブセットの圏の局所的に有限生成可能な反射的フル部分カテゴリに同値である。
• CCSのプロセス名から流れへの写像は、高次元遷移系の圏を通じて因数分解され、トポロジカルモデルへのカテゴリカルなブリッジを提供する。
• この枠組みは、CCSを越える他のプロセス代数へも適用可能である。
• この構成は、方向付き代数的トポロジーとカテゴリカルな代数的構造を用いた、並行実行を体系的かつ一貫してモデル化する方法を提供する。