[論文レビュー] Homotopical interpretation of globular complex by multipointed d-space

Philippe Gaucher|ArXiv.org|Oct 18, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、グランディスのd空間の変種である多ポイントd空間の圏に、組合せ的モデル圏構造を確立する。ここでは、グローブラーコンプレックスが正確に細胞的対象である。このモデル圏のホモトピー圏がフローのホモトピー圏と同値であることを示し、フローの基本的ホモトピー型関手を全左導来関手として解釈可能にすることで、ホモトピーコロイドを用いたホモトピー的計算が簡略化される。

ABSTRACT

Globular complexes were introduced by E. Goubault and the author in arXiv:math/0107060 to model higher dimensional automata. Globular complexes are topological spaces equipped with a globular decomposition which is the directed analogue of the cellular decomposition of a CW-complex. We prove that there exists a combinatorial model category such that the cellular objects are exactly the globular complexes and such that the homotopy category is equivalent to the homotopy category of flows introduced in arXiv:math/0308054. The underlying category of this model category is a variant of M. Grandis' notion of d-space over a topological space colimit generated by simplices. This result enables us to understand the relationship between the framework of flows and other works in directed algebraic topology using d-spaces. It also enables us to prove that the underlying homotopy type functor of flows constructed in arXiv:math/0308063 can be interpreted up to equivalences of categories as the total left derived functor of a left Quillen adjoint.

研究の動機と目的

• グランディスのd空間の変種を用いて、グローブラーコンプレックスのホモトピー的解釈を提供すること。
• グローブラーコンプレックスが細胞的対象である組合せ的モデル圏を構成すること。
• 多ポイントd空間のホモトピー圏がフローのホモトピー圏と同値であることを示すこと。
• フローの基本的ホモトピー型関手を全左導来関手として解釈すること。
• 導来関手を用いて、方向付き代数的トポロジーにおけるホモトピー的計算を簡略化すること。

提案手法

• 方向付きホモトピー理論に特化した、M. グランディスのd空間概念の変種を導入する。
• 組合せ的性質と局所的生成性を保証するため、Δ生成位相空間の圏内で作業する。
• 写像 $ Z \times_{\Delta} S^{n-1} \to Z \times_{\Delta} D^n $ に沿った押し出しを用いた、新しい組合せ的分解によりグローブラーコンプレックスを定義する。
• 細胞的および生成的コホイーレント技術を用いて、多ポイントd空間の圏にモデル構造を構成する。
• 随伴関手定理と可アクセス性の議論を用いて、モデル圏が単体的かつ左固有であることを証明する。
• クイレンの随伴と導来関手を用いて、多ポイントd空間のホモトピー圏とフローのホモトピー圏の同倹を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グランディスのd空間の変種を用いて、グローブラーコンプレックスを組合せ的モデル圏枠組み内で完全に捉えることができるか？
• RQ2 多ポイントd空間のホモトピー圏は、フローのホモトピー圏と同値か？
• RQ3 フローの基本的ホモトピー型関手は、左クイレン随伴の全左導来関手として表現可能か？
• RQ4 Δ生成空間構造は、組合せ的性質と可アクセス性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 多ポイントd空間に導入された単体的構造は、モデル圏公理を支えるためにどのように機能するか？

主な発見

• Δ生成空間上の多ポイントd空間の圏は、グローブラーコンプレックスが正確に細胞的対象である組合せ的モデル構造を備える。
• 多ポイントd空間のホモトピー圏は、フローのホモトピー圏と同値であり、両者の枠組みの間の基盤的リンクを確立する。
• フローの基本的ホモトピー型関手は、左クイレン随伴の全左導来関手と同値であり、ホモトピー的計算への応用を簡略化する。
• 多ポイントd空間のモデル圏は単体的であり、幾何的実現と写像空間を用いてテンソルおよびコテンソル構造が定義される。
• この構成により、ホモトピーコロイド技法を用いてフローの基本的ホモトピー型を計算可能になる。
• 多ポイントd空間の圏は局所的生成的であり、すべての小さな余極限を備え、元のグローブラーコンプレックス圏の制限を解消する。