[論文レビュー] Directed polymers in heavy-tail random environment and Entropy-controlled Last Passage Percolation

Quentin Berger, Niccolò Torri|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、尾指数 $\alpha \in (0,2)$ を持つ重たい尾を持つランダム環境における 1+1 次元の指向的高分子鎖を研究し、弱結合領域（$\beta_n \to 0$）においてすべての可能なスケーリング極限を確立する。$\alpha \in (1/2, 2)$ の場合に5つの異なる定常的領域を特定し、横方向のフラクチュエーション $h_n$ が $\sqrt{n}$ から $n$ の間で変動することを示す。また $\alpha < 1/2$ の場合に2つの領域を同定し、エントロピー制御型最後到達確率（E-LPP）の導入により Dey と Zygouras の予想を証明する。

ABSTRACT

We study the directed polymer model in dimension $1+1$ when the environment is heavy-tailed, with a decay exponent $\alpha\in(0,2)$. We give all possible scaling limits of the model in the weak-coupling regime, i.e. when the inverse temperature temperature $\beta=\beta_n$ vanishes as the size of the system $n$ goes to infinity. When $\alpha\in(1/2,2)$, we show that all possible transversal fluctuations $\sqrt{n} \leq h_n \leq n$ of the polymer can be achieved by tuning properly $\beta_n$, allowing to interpolate between all super-diffusive scales. Moreover, we determine the scaling limit of the model, answering a conjecture by Dey and Zygouras [cf:DZ] -- we actually identify five different regimes. On the other hand, when $\alpha<1/2$, we show that there are only two regimes: the transversal fluctuations are either $\sqrt{n}$ or $n$. This extends the results of Auffinger and Louidor [AL11], and Dey and Zygouras [cf:DZ], which considered only the cases where $h_n =n$, resp. $h_n=\sqrt{n}$. As a key ingredient, we introduce the [Entropy-controlled Last Passage Percolation] (E-LPP), which is a natural generalization of Hammersley's Last Passage Percolation where points can be collected by paths with the constraint to have an entropy bounded by a fixed constant -- instead of a $1$-Lipschitz constraint. We prove several estimates on the E-LPP in continuous and in discrete settings, which are of interest on their own.

研究の動機と目的

• 1+1 次元の重たい尾を持つランダム環境における指向的高分子鎖のすべての可能なスケーリング極限を特徴づけること。
• 従来の横方向フラクチュエーション（$\sqrt{n}$ または $n$）の結果を、$\alpha \in (1/2, 2)$ の場合の中間スケールに拡張すること。
• Dey と Zygouras が提起した弱結合極限における複数の領域の存在に関する予想を解消すること。
• エントロピー制御型最後到達確率（E-LPP）を新規に導入し、高分子鎖のフラクチュエーションを分析するための道具として用いること。
• 尾指数 $\alpha$ と逆温度 $\beta_n$ の調整に基づいて、スケーリング領域の完全な分類を確立すること。

提案手法

• エントロピー制約（1-Lipschitz経路制約の代わり）を導入したハマークリの LPP の一般化であるエントロピー制御型最後到達確率（E-LPP）を導入する。
• 離散的および連続的設定の両方で E-LPP を分析し、エントロピー制約下での経路成長および点集合の推定を導出する。
• E-LPP を用いて弱結合領域における指向的高分子鎖モデルの自由エネルギーおよびフラクチュエーションを特徴づける。
• 系のサイズ $n$ の関数として逆温度 $\beta_n$ を調整し、目的の横方向フラクチュエーション $h_n \in [\sqrt{n}, n]$ を達成する。
• 重たい尾を持つ環境のモーメントとエントロピー制約付き経路選択の間の相互作用を分析することでスケーリング極限を確立する。
• 特に $\alpha < 1/2$ の場合、$h_n = \sqrt{n}$ および $h_n = n$ のみが可能であり、$\alpha \in (1/2, 2)$ の場合、中間スケールすべてが到達可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱結合領域において、$\alpha \in (0,2)$ を持つ重たい尾を持つ環境における指向的高分子鎖の、全スケーリング極限の集合は何か？
• RQ2 $\alpha \in (1/2, 2)$ の場合に、$\beta_n$ を調整することで $\sqrt{n}$ と $n$ の間の途中スケールの横方向フラクチュエーションを達成できるか？
• RQ3 エントロピー制約が最後到達確率モデルにおける経路選択および自由エネルギーの制御に果たす役割は何か？
• RQ4 環境の尾の減衰指数 $\alpha$ がスケーリング領域の数に与える影響は何か？
• RQ5 Dey と Zygouras が提起した複数の領域の存在に関する予想は、すべての $\alpha \in (1/2, 2)$ に対して成り立ち、$\alpha < 1/2$ の場合に何が起こるか？

主な発見

• $\alpha \in (1/2, 2)$ の場合、適切に $\beta_n$ を調整することで、$\sqrt{n} \leq h_n \leq n$ を満たすすべての横方向フラクチュエーション $h_n$ が達成可能であり、5つの異なるスケーリング領域が特定される。
• $\alpha < 1/2$ の場合、$h_n = \sqrt{n}$ および $h_n = n$ の2つの領域しか存在せず、重たい尾による相転移の制限が確認される。
• 本稿は、Dey と Zygouras が提起した弱結合極限における複数のスケーリング極限の存在に関する予想を解消する。
• エントロピー制御型最後到達確率（E-LPP）の導入は、エントロピー制約下での経路フラクチュエーションを分析するための新しい枠組みを提供し、高分子鎖モデルを超えて内在的な関心を持つ。
• 著者らは離散的および連続的両設定において E-LPP に対する非自明な推定を導出し、高分子鎖モデルの分析の中心的役割を果たす。
• 本稿の結果は、Auffinger と Louidor、および Dey と Zygouras の先行研究を一般化し、$h_n = \sqrt{n}$ および $h_n = n$ の極端な場合を超えて分析を拡張する。