[論文レビュー] Discontinuous Galerkin Isogeometric Analysis on Non-matching Segmentation: Error Estimates and Efficient Solvers

Christoph Hofer, Ulrich Langer+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ギャップおよび重複領域を有する非一致マルチパッチ幾何における楕円型拡散問題に対する不連続ガレルキン等駆動解析（dG IgA）法を提案する。標準的な数値フラックスが機能しない状況において、タイラー展開に基づくフラックス近似を導入することで、パッチ単位の問題を結合し、最適収束率を達成するとともに、IETI-DPソルバを用いて効率的かつロバストな性能を発揮する。これは、拡散係数の大きなジャンプに対しても同様に有効である。

ABSTRACT

The Isogeometric Analysis (IgA) of boundary value problems in complex domains often requires a decomposition of the computational domain into patches such that each of which can be parametrized by the so-called geometrical mapping. In this paper, we develop discontinuous Galerkin (dG) IgA techniques for solving elliptic diffusion problems on decompositions that can include non-matching parametrizations of the interfaces, i.e., the interfaces of the adjacent patches may be not identical. The lack of the exact parametrization of the patches leads to the creation of gap and overlapping regions between the patches. This does not allow the immediate use of the classical numerical fluxes that are known in the literature. The unknown normal fluxes of the solution on the non-matching interfaces are approximated by Taylor expansions using the values of the solution computed on the boundary of the patches These approximations are used in order to build up the numerical fluxes of the final dG IgA scheme and to couple the local patch-wise discrete problems. The resulting linear systems are solved by using efficient domainecomposition methods based on the tearing and interconnecting technology. We present numerical results of a series of test problems that validate the theoretical estimates presented.

研究の動機と目的

• パラメータ化が一致しないパッチに分割された計算領域における楕円型拡散問題を解く課題に対処すること。
• セグメンテーションの罪（segmentation crimes）により標準的な数値フラックスが適用できない状況においても、安定的かつ高精度なdG IgAスキームを構築すること。
• 幾何におけるギャップおよび重複領域に起因する近似誤差が存在する場合でも、最適収束率を保証すること。
• 特にIETI-DPソルバを用いて、得られる線形システムを効率的に解けるようにすること。
• 既知の正確解が存在する2次元および3次元問題に対して、変動する拡散係数を用いて手法を検証すること。

提案手法

• 各パッチにおける解の内部値に基づくタイラー展開を用いて、ギャップおよび重複インターフェース上の法線フラックスを近似する。
• これらのタイラーに基づくフラックス近似を組み込んだ新しい数値フラックスを構築し、非一致インターフェースにわたる弱い連続性を強制するdG IgAスキームを構築する。
• 解および幾何の高次近似のために、BスプラインまたはNURBSに基づく等駆動離散化を用いる。
• 頂点、辺、面の平均値に基づくプライマル変数を用いたIETI-DP領域分割法を適用し、グローバル線形システムを効率的に解く。
• 条件数の低減とソルバのロバスト性向上を目的として、前処理に係数および剛性係数のスケーリングを導入する。
• メッシュサイズ $ h $ およびギャップ／重複領域の最大幅に依存する、dGノルムにおける事前誤差推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パッチ間のインターフェースパラメータ化が一致せずギャップおよび重複領域を生じる場合でも、dG IgAで最適収束率を達成できるか？
• RQ2 正確なインターフェース一致が存在しない状況では、どのように数値フラックスを構築できるか。また、フラックス近似の影響は精度にどのように現れるか？
• RQ3 IETI-DPソルバは、複雑な幾何を持つ非一致パッチ分割においても、ロバストな性能を維持できるか？
• RQ4 拡散係数の大きなジャンプが、このような非一致設定における線形システムの収束性および条件数に与える影響は何か？
• RQ5 プライマル変数の選択およびスケーリング戦略は、これらの問題におけるIETI-DPソルバの性能にどのように寄与するか？

主な発見

• 提案されたdG IgA法は、dGノルムにおいて最適収束率を達成しており、数値実験により理論的期待と一致する収束次数が確認された。
• 前処理を施したIETI-DPシステムの条件数は、メッシュの細分化にかかわらず小さく、ほぼ一定であり、ソルバのロバスト性を示している。
• 240,424自由度に達する大きなシステムに対しても、共役勾配反復回数は低く安定しており（例：7～16回）、変動が小さい。
• 異方的拡散係数を有する3次元例において、係数スケーリングが剛性スケーリングよりも優れた性能を示した。
• パッチ界面における拡散係数の大きなジャンプに対しても、精度とソルバの効率性が維持された。
• 数値結果は理論的誤差推定を確認しており、メッシュの細分化およびギャップ／重複幅の減少に伴い、収束率が期待値に近づく傾向を示した。