[論文レビュー] Discrete ABP Estimate and Convergence Rates for Linear Elliptic Equations in Non-divergence Form

Ricardo H. Nochetto, Wujun Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非発散型線形楕円型PDEに対して二重スケール有限要素法を導入し、細粒度FEMと粗粒度の積分微分近似を組み合わせることで最適収束率を達成する。離散アレクサンドロフ＝バケルマン＝プッチ（ABP）推定を確立し、$ h^{2\beta/(2+\beta)} |\text{ln}\thinspace h| $ の点での誤差バインディングを証明した。これは $ C^{2,\beta} $ の正則性仮定の下で準最適である。

ABSTRACT

We design a two-scale finite element method (FEM) for linear elliptic PDEs in non-divergence form $A(x) : D^2 u(x) = f(x)$ in a bounded but not necessarily convex domain $Ω$ and study it in the max norm. The fine scale is given by the meshsize $h$ whereas the coarse scale $ε$ is dictated by an integro-differential approximation of the PDE. We show that the FEM satisfies the discrete maximum principle (DMP) for any uniformly positive definite matrix $A$ provided that the mesh is face weakly acute. We establish a discrete Alexandroff-Bakelman-Pucci (ABP) estimate which is suitable for finite element analysis. Its proof relies on a discrete Alexandroff estimate which expresses the min of a convex piecewise linear function in terms of the measure of its sub-differential, and thus of jumps of its gradient. The discrete ABP estimate leads, under suitable regularity assumptions on $A$ and $u$, to pointwise error estimates of the form \begin{equation*} \| u - u^ε_h \|_{L_\infty(Ω)} \leq \, C(A,u) \, h^{2α/(2 + α)} \big| \ln h \big| \qquad 0< α\leq 2, \end{equation*} provided $ε\approx h^{2/(2+α)}$. Such a convergence rate is at best of order $ h \big| \ln h \big|$, which turns out to be quasi-optimal.

研究の動機と目的

• 非凸領域における非発散型形式の線形楕円型PDEに対する安定的かつ収束性を有する有限要素法の開発。
• 面が弱く鋭いメッシュの下で、線形関数の有限要素法に対する離散最大原理（DMP）の確立。
• 有限要素誤差解析に適した離散アレクサンドロフ＝バケルマン＝プッチ（ABP）推定の構築。
• 係数行列と解の正則性を最小限に仮定した上での最大ノルムにおける収束率の特定。
• 適応的粗スケールパラメータ $ \epsilon $ を用いた二重スケールFEMシミュレーションを通じて、理論的収束率の数値的検証。

提案手法

• 細粒度メッシュサイズ $ h $ と粗スケール $ \epsilon \approx h^{2/(2+\alpha)} $ を用いた二重スケール有限要素法（FEM）の設計。ここで $ \alpha $ は解の正則性を定量化する。
• 凸な区分線形関数の最小値をその部分微分の測度と勾配のジャンプによって表現する離散アレクサンドロフ推定の導入。
• 誤差の負の部分を離散作用素の一貫性誤差で上界付ける離散ABP推定の確立。
• メッシュが面に関して弱く鋭い場合、任意の一様正定値行列 $ A $ に対して離散最大原理（DMP）を証明。
• 離散ABP推定を用いて、解の $ C^{2,\alpha} $-正則性と係数行列の $ C^{0,\alpha} $-正則性の下で、点での $ L^\infty $ 誤差バインディングを導出。
• 適応的 $ \epsilon $ を用いた二重スケールFEMソルバーの実装を行い、$ C^{2,\alpha} $-解と $ C^{0,\alpha} $-係数の下で収束率を数値的に検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非発散型楕円型PDEのための二重スケールFEMは、最大ノルムにおいて最適収束率を達成できるか？
• RQ2 非凸領域において、区分線形FEMが保持できる離散的安定性および最大原理の性質は何か？
• RQ3 非発散型PDEのFEMにおける点での誤差を上界付けるために、どのように離散ABP推定を構築できるか？
• RQ4 細粒度解像度 $ h $ と粗スケールパラメータ $ \epsilon $ の間で、収束率を最大化する最適なバランスは何か？
• RQ5 理論的収束率 $ h^{2\alpha/(2+\alpha)} |\text{ln}\thinspace h| $ が、$ C^{2,\alpha} $-解と $ C^{0,\alpha} $-係数に対して数値的に確認できるか？

主な発見

• 二重スケールFEMは、メッシュが面に関して弱く鋭い場合、任意の一様正定値係数行列 $ A $ に対して離散最大原理を満たす。
• 凸な区分線形関数の最小値をその部分微分の測度と勾配のジャンプによって表現する離散アレクサンドロフ推定が導出された。
• 誤差の点での $ L^\infty $ 制御を可能にする離散ABP推定が確立され、収束解析の中心的役割を果たす。
• $ C^{2,\alpha} $-正則性の解と $ C^{0,\alpha} $-正則性の $ A $ の下で、$ \|u - u_h^\epsilon\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C(A,u) h^{2\alpha/(2+\alpha)} |\text{ln}\thinspace h| $ の収束率が達成され、$ \epsilon \approx h^{2/(2+\alpha)} $ となる。
• 数値実験により、$ \alpha = 0.4 $ の場合に予測された収束率 $ O(h^{1/3}) $ が確認され、理論的境界と一致した。
• $ \epsilon $ が $ O(h^{2/(3+\alpha)}) $ に選ばれた場合、数値的に約 $ O(h^{0.82}) $ のより速い収束率が観察され、$ C^{2,\alpha} $-理論を超える改善が可能である可能性を示唆した。