[論文レビュー] On pointwise Kan extensions in double categories

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ドゥビューシュの豊かみ付き圏におけるアプローチとスチュアートの2圏的定義の両方を一般化する、二重圏における点ごとのケン拡張の統一的概念を導入する。設備（equipment）におけるオーバーカルトリアン・タブレーションを活用することで、点ごとのケン拡張が、コンマ型構造に類似したタブレーションを用いた通常のケン拡張によって特徴付けられることを示し、2つの古典的定義を統合するとともに、豊かみ付きおよび内部圏への適用可能性を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we consider a notion of pointwise Kan extension in double categories that naturally generalises Dubuc's notion of pointwise Kan extension along enriched functors. We show that, when considered in equipments that admit opcartesian tabulations, it generalises Street's notion of pointwise Kan extension in 2-categories.

研究の動機と目的

• 豊かみ付き圏におけるドゥビューシュの点ごとのケン拡張の概念を、2圏におけるスチュアートの定義と統合すること。
• 点ごとのケン拡張の概念を2圏を越えて一般の二重圏へ拡張すること。
• オーバーカルトリアン・タブレーションを備えた設備において、通常のケン拡張を用いて点ごとのケン拡張を定義する枠組みを確立すること。これは、スチュアートのコンマ対象構成と類似する。
• このような設備における結果の概念が、垂直2圏においてスチュアートの2圏的点ごとのケン拡張を回復することを示すこと。

提案手法

• 関手圏における正確な正方形を一般化する「正確な細胞」の概念を用いて、二重圏における点ごとのケン拡張の新しい定義を導入する。
• 点ごとのケン拡張を定義する細胞のクラスを保存するような、前結合が保存される細胞として「正確な細胞」を定義し、それらを研究する。
• 設備におけるオーバーカルトリアン・タブレーションの概念を用いて、2圏的コンマ対象構成を一般化する。
• すべてのオーバーカルトリアン・タブレーションを備えた設備において、点ごとのケン拡張が、スチュアートの2圏的定義に類似した通常のケン拡張によって特徴付けられることを示す。
• 適切な圏 E における内部圏に応用し、そのような設備がすべてのオーバーカルトリアン・タブレーションを備えることを証明する。
• プロファンクターのタブレーションの普遍性を用いて、'コンマに類似した'対象 ⟨J⟩ の内部圏構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドゥビューシュの豊かみ付き圏における点ごとのケン拡張の概念は、垂直2圏においてスチュアートの2圏的定義を回復するような方法で、二重圏へ一般化可能か？
• RQ2 点ごとのケン拡張が、コンマ対象の一般化を用いて通常のケン拡張によって定義可能であるための、二重圏における条件は何か？
• RQ3 二重圏における正確な細胞は、関手圏における古典的正確正方形の概念とどのように関係するか？
• RQ4 適切な圏 E における内部圏の設備は、オーバーカルトリアン・タブレーションを備えるか？ これにより、点ごとのケン拡張の新しい定義が支えられるか？
• RQ5 新しい二重圏的枠組みは、異なるカテゴリカルな設定における既存の点ごとのケン拡張の概念を統合可能か？

主な発見

• すべてのオーバーカルトリアン・タブレーションを備えた設備において、点ごとのケン拡張が通常のケン拡張を用いて定義可能であることが確立された。これは、スチュアートの2圏的構成を一般化する。
• 提案された二重圏における点ごとのケン拡張の概念は、設備の垂直2圏に制限した場合、スチュアートの定義を回復する。
• 適切な圏 E における内部圏の設備は、すべてのオーバーカルトリアン・タブレーションを備えるため、新しい枠組みを支持する。
• 内部変換 π: ⟨J⟩ → J として構成されたタブレーションの普遍性が、1次元的および2次元的普遍性の両方を満たすことが示された。
• 細胞 π がオーバーカルトリアンであることが証明され、これはタブレーションによる点ごとのケン拡張の特徴付けに不可欠である。
• ⟨J⟩ を内部圏として完成させるために、その出発点、到達点、乗法、単位写像を定義し、π が内部圏構造と整合することを示した。