[論文レビュー] Discrete Differential Geometry on causal graphs

E.A. Forgy, Urs Schreiber|ArXiv.org|Jul 4, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非可換幾何学を用いて因果的グラフ上の離散微分幾何の枠組みを構築し、微分形式および外微分を、変形された内積を持つクレイン空間上の作用素として表現する。主な貢献は、トポロジカルに超立方体格子上で、連続体の本質的性質（特に $\mathbf{d}^\dagger = \pm \star \u005c mathbf{d} \star^{-1}$）を保つ、構成的で模倣的（mimetic）なホッジスター作用素およびホッジ内積を構築することである。この格子では、一意に選ばれた擬リーマン計量のもとで、すべての辺が光的（lightlike）である。

ABSTRACT

Differential calculus on discrete spaces is studied in the manner of non-commutative geometry by representing the differential calculus by an operator algebra on a suitable Krein space. The discrete analogue of a (pseudo-)Riemannian metric is encoded in a deformation of the inner product on that space, which is the crucial technique of this paper. We study the general case but find that drastic and possibly vital simplifications occur when the underlying lattice is topologically hypercubic, in which case we explicitly construct mimetic analogues of the volume form, the Hodge star operator, and the Hodge inner product for arbitrary discrete geometries. It turns out that the formalism singles out a pseudo-Riemannian metric on topologically hypercubic graphs with respect to which all edges are lightlike. We study such causal graph complexes in detail and consider some of their possible physical applications, such as lattice Yang-Mills theory and lattice fermions.

研究の動機と目的

• 離散微分幾何における一貫性のある計量構造、特にホッジ内積とホッジスター作用素を定義する長年の課題を解決すること。
• 標準的なホッジ双対性が離散幾何と不整合を起こすのを回避するため、クレイン空間上の作用素代数を用いて計量幾何を再定式化すること。
• 外微分 $\ mathbf{d}^\dagger = \pm \star \u005c mathbf{d} \star^{-1}$ のような連続体の本質的性質を保つ、離散的でトポロジカルに超立方体的グラフ上での模倣的形式主義を構築すること。
• すべての辺が光的となる一意的な擬リーマン計量を特定し、格子ヤン・ミルズ理論や格子フェルミオンへの応用を可能にすること。
• 内積の変形が離散計量幾何を符号化することを示し、曲がったおよび一般化された離散空間の構築を可能にすること。

提案手法

• 離散微分形式の空間を、離散計量を作用素的変形によって符号化する変形された内積を持つヒルベルト空間として表現する。
• 非可換幾何学を用いて、外微分 $\ mathbf{d}$ をクレイン空間上の奇数位相作用素として扱い、階数付きライブニッツ則と零指数性（nilpotency）を保証する。
• ホッジスター作用素 $\ star$ を、関係 $\ mathbf{d}^\dagger = \pm \star \u005c mathbf{d} \star^{-1}$ を明示的に定義することで、外微分共役作用素と整合性を保つ。
• 変形された内積構造を用いて、ホッジ内積 $< \alpha | \beta \u003e = \int \alpha \wedge \star \beta$ を構築する。
• 因果的グラフの接続性を符号化するグラフ作用素 $\ mathbf{G}$ を導入し、$\ mathbf{G}\mathbf{G}^\dagger - \mathbf{G}^\dagger\mathbf{G}$ を用いて光錐構造を定義する。
• 擬リーマン幾何を離散的に符号化するための計量作用素 $\hat{g} = V(x)(\mathbf{G}\mathbf{G}^\dagger - \mathbf{G}^\dagger\mathbf{G})$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジスター作用素とホッジ内積を、関係 $\ mathbf{d}^\dagger = \pm \star \u005c mathbf{d} \star^{-1}$ を保つように、離散微分幾何で一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 0形式との非可換性が、離散空間上での一貫した模倣的形式主義を可能にする役割は何か？
• RQ3 なぜこの形式主義は、すべての辺が光的となる一意的な擬リーマン計量を、トポロジカルに超立方体的グラフ上で選ぶのか？
• RQ4 形式主義における内積の変形が、離散計量幾何と曲率をどのように符号化するのか？
• RQ5 この形式主義は、特にディラック＝カーラー作用素を用いる場合に、格子場理論におけるフェルミオン二重化を回避できるか？

主な発見

• 本稿は、トポロジカルに超立方体的グラフ上で、$\ mathbf{d}^\dagger = \pm \star \u005c mathbf{d} \star^{-1}$ を満たすホッジスター作用素を構築し、離散ホッジ理論における主要な不一致を解消した。
• 形式主義は、すべての辺が光的となる一意的な擬リーマン計量を、超立方格子上で特定し、光錐構造は $\ mathbf{G}\mathbf{G}^\dagger - \mathbf{G}^\dagger\mathbf{G}$ によって定まる。
• 体積形式とホッジ内積は模倣的形で明示的に構築され、離散幾何においても連続体に類似した構造を保った。
• このような格子上でのディラック＝カーラー作用素は、非可換性に起因する非局所性のおかげでフェルミオン二重化を回避するが、自己随伴的かつ $s=1$ に対応する。
• 内積の変形 $\hat{g}$ を通じて、曲がったおよび一般化された離散空間上での格子場理論作用素を構築可能である。
• この形式主義は、超弦理論におけるループ空間形式主義のスーパーパarticle極限として解釈され、バックグラウンド場の変形と深い関係があると示唆する。