[論文レビュー] Discrete energy spectrum of Hawking radiation from Schwarzschild surfaces

A. Kotwal, Stefan G. Hofmann|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、大規模な追加次元を有する時空におけるシュバルツシルトブラックホールのホーキング放射に対して、単価関数と径方向境界条件を用いて離散的エネルギー準位を導出する。ブラックホールが基本的プランクスケールに近い場合（$M_{\text{bh}} \sim M_{\text{f}}$）、エネルギー準位は有限の間隔で量子化され、最低エネルギーモード（$\omega \approx M_{\text{f}}$）への放射が支配的になる。これは、ホーキング放射による完全な蒸発を防ぐ可能性がある。

ABSTRACT

We analyze the allowed energy levels of Hawking radiation from Schwarzschild surfaces in space-times with large extra dimensions. From the requirement that the wave functions associated with these particles be single-valued and obey radial boundary conditions, we derive an upper bound of their discrete energy spectrum as a function of the number of large extra dimensions and the mass of the black hole. Furthermore, we investigate the spacing of the energy levels.

研究の動機と目的

• 大規模な追加次元（LXD）状況下におけるシュバルツシルトブラックホールのホーキング放射のエネルギースペクトルを特定すること。
• 有限サイズの量子効果および境界条件が放出量子の許容エネルギー準位に与える制約を調査すること。
• 質量が基本スケール$M_{\text{f}}$に近いマイクロブラックホールに対して、ホーキング放射の標準的連続的ブラックボディスペクトルが有効であるかどうかを評価すること。
• エネルギー準位の離散性がブラックホール蒸発ダイナミクスに与える影響および、非熱的・非蒸発的残渣の可能性を検討すること。

提案手法

• シュバルツシルト表面における波動関数の単価性を課し、$n\lambda = R_{\text{bh}}$（$n$ は整数）を満たすド・ブロイ波長を要求する。
• 波動関数が$r \sim R_{\text{bh}}$で消えることを要求する径方向境界条件を適用し、運動量の幾何的量子化を強制する。
• エネルギー保存則（$\omega \leq M_{\text{bh}}/2$）と$D=4+d$次元における事象の地平面半径のスケーリングを用いて、量子数$n$の上限を導出する。
• 連続的運動量積分を、$k_n = \pi n / R_{\text{bh}}$から導かれる離散的エネルギー準位$\omega_n$への和に置き換える。
• エネルギー損失をモデル化するためのグランドカノニカルアンサンブルを用い、プランク積分を$n_{\text{max}}$までの離散的$n$への和に置き換える。
• $M_{\text{bh}} = 15M_{\text{f}}$および$d=2$から$7$に対して数値的にスペクトルを評価し、最低モードの支配的性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な追加次元におけるシュバルツシルト事象の地平面に量子境界条件を課した場合、ホーキング放射の離散的エネルギースペクトルはどのように得られるか？
• RQ2 利用可能なエネルギー準位数$n_{\text{max}}$は、大規模な追加次元数$d$およびブラックホール質量$M_{\text{bh}}$にどのように依存するか？
• RQ3 $M_{\text{bh}} \sim M_{\text{f}}$の場合に、離散スペクトルが連続的プランクスペクトルからどの程度逸脱するか？
• RQ4 全エネルギーのうち、最低エネルギーモードに放射される割合はどの程度で、これは$d$にどのように依存するか？
• RQ5 エネルギー準位の量子化が、$M_{\text{f}}$スケールのブラックホールの完全な蒸発を防ぐ可能性はあるか？

主な発見

• $M_{\text{bh}} = 15M_{\text{f}}$および$d=2$の場合、最大量子数は$n_{\text{max}} \approx 5$となり、非常に離散的なスペクトルであることが示された。
• 準位間のエネルギー間隔は約$\sim 1/R_{\text{bh}}$であり、小さなブラックホールでは大きくなり、量子化を強制する。
• 最低エネルギーモード$\omega \approx M_{\text{f}}$が放射を支配し、$d=2$では99%以上のエネルギーがこのモードで放射された。
• $d=7$では、2番目のエネルギー準位が$\omega \approx 4M_{\text{f}}$に現れ、準位間隔に明著な$d$依存性があることが示された。
• 高次モードを無視した相対誤差は$d=2$では1%未満であったが、$d=3$～$7$では約10%に増加し、離散構造の重要性が高まっていることが示された。
• 離散スペクトルの導出は特定の統計アンサンブルに依存しないため、熱力学的記述の違いにかかわらず結果は頑健である。