[論文レビュー] Mimetic framework on curvilinear quadrilaterals of arbitrary order

Jasper Kreeft, Artur Palha+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2011

Numerical methods for differential equations参考文献 28被引用数 47

ひとこと要約

本稿では、曲線四角形メッシュ上における高次モーメンティックスペクトル要素フレームワークを提示し、離散作用素とその連続的対応物との間の正確な可換性により、微分形式の位相的および幾何的構造を保持する。代数的位相幾何学、ホッジ分解、計量適合射影を活用することで、曲がった要素でさえも、離散作用素が連続的微分作用素を正確に模倣することを保証し、最適収束性と安定性を達成する。

ABSTRACT

In this paper higher order mimetic discretizations are introduced which are firmly rooted in the geometry in which the variables are defined. The paper shows how basic constructs in differential geometry have a discrete counterpart in algebraic topology. Generic maps which switch between the continuous differential forms and discrete cochains will be discussed and finally a realization of these ideas in terms of mimetic spectral elements is presented, based on projections for which operations at the finite dimensional level commute with operations at the continuous level. The two types of orientation (inner- and outer-orientation) will be introduced at the continuous level, the discrete level and the preservation of orientation will be demonstrated for the new mimetic operators. The one-to-one correspondence between the continuous formulation and the discrete algebraic topological setting, provides a characterization of the oriented discrete boundary of the domain. The Hodge decomposition at the continuous, discrete and finite dimensional level will be presented. It appears to be a main ingredient of the structure in this framework.

研究の動機と目的

• 曲線四角形メッシュ上での微分形式の位相的および幾何的構造を保持する高次モーメンティック離散化フレームワークの開発を目的とする。
• 外微分作用素およびホッジスター作用素と可換となる射影作用素を介して、連続的微分形式と離散的コチェーンの間の一対一対応を確立することを目的とする。
• 連続的および離散的両レベルで双対グリッドと方向性（内向き／外向き）を明示的に組み込むことで、有限体積法と有限要素法を共通のモーメンティックフレームワークに統合することを目的とする。
• 引き戻し写像および再構成写像における可換関係を保存することにより、曲がった要素上でも計量的および位相的整合性を保証することを目的とする。
• ホッジ分解が連続的、離散的、有限次元的レベルのすべてで保存されることを示し、数値的安定性と最適収束性を保証することを目的とする。

提案手法

• 代数的位相幾何学に基づくモーメンティックフレームワークを用い、微分形式を内在的向き（内向き／外向き）を持つセル複体上のコチェーンとして離散化する。
• 還元、再構成、射影作用素を用いて連続的微分形式を離散的コチェーンに写像し、離散的作用素がその連続的対応物と正確に可換になるように保証する。
• 有界線形射影（πh および π̃h）と余射影（π⋆h および π̃⋆h）を用いて、連続的空間と離散的空間の間で関数を転送し、位相的および計量的構造を保持する。
• 任意の次数の多項式基底関数を用いた曲がった要素上の高次モーメンティックスペクトル要素法を構築し、微分作用素（D および D̃）に基づく射影を適用する。
• 計量適合射影を介して離散的ホッジスター作用素を導入し、離散的内積および外積が連続的ケースと整合的になるように保証する。
• 微分形式の引き戻しがコチェーン写像および離散的作用素と可換であることを示し、曲がったグリッド上でも構造を正確に保存可能であることを実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線四角形要素上での高次モーメンティック離散化を、微分形式の位相的および幾何的構造を保持する形でどのように構築できるか？
• RQ2 高次スペクトル要素フレームワークにおいて、離散的作用素（外微分、ホッジスター、余微分）がその連続的対応物とどの程度正確に可換に保たれるか？
• RQ3 このモーメンティックフレームワークにおいて、ホッジ分解は連続的、離散的、有限次元的レベルのすべてでどのように保存されるか？
• RQ4 双対グリッドと方向性（内向き／外向き）は、曲線メッシュ上のモーメンティック離散化における整合性と安定性を確保するために果たす役割は何か？
• RQ5 計量依存操作（例：内積、ホッジスター）が曲がった写像下でも一貫性を保ちつつ、位相的可換関係が保存されるようにフレームワークが保証できるか？

主な発見

• 射影作用素を巧みに設計することで、外微分作用素やホッジスター作用素などの離散的作用素が、その連続的対応物と正確に可換になることが保証される。
• ホッジ分解が連続的、離散的、有限次元的すべてのレベルで保存され、数値的安定性と最適収束性の構造的基盤が提供される。
• 引き戻し写像とコチェーン写像の可換性を保存することで、非線形幾何的写像下でも曲がった要素上での位相的整合性が維持される。
• 双対グリッドと方向性（内向き／外向き）の使用により、物性関係の物理的に整合した取り扱いや部分積分の処理が可能となり、ステガレート有限体積法で一般的に生じる問題が解消される。
• 離散的内積および外積は計量適合射影を介して構築され、離散的ホッジスター作用素が連続的ケースと整合的になることが保証される。
• 数値実験において最適収束率が達成され、微分構造の正確な保存のおかげで、誤差が高次スペクトル要素の期待通りにスケーリングされる。