[論文レビュー] Discrete gauge anomalies revisited

Chang-Tse Hsieh|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、Dai-Freed定理を用いて、3+1次元のカイラルフェルミオン理論における離散ゲージ異常を再考し、$π_5^{π}(B\mathbb{Z}_n)$および$(\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_{2m})/\mathbb{Z}_2$対称性群における異常を計算する。非捻り（untwisted）の場合$\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$と捻り（twisted）の場合$\mathrm{Spin}^\mathbb{Z}_{2m}(4)$の両方の異常キャンセレーション条件を導出し、異常が対称性の拡張に依存し、電荷正規化およびスピン構造に敏感であることを示す。$\Delta s_3$、$\Delta s_1$および$\Delta\tilde{s}_3$、$\Delta\tilde{s}_1$に明示的なモジュラー制約が存在する。

ABSTRACT

We revisit discrete gauge anomalies in chiral fermion theories in $3+1$ dimensions. We focus on the case that the full symmetry group of fermions is $\mathrm{Spin}(4) imes\mathbb{Z}_n$ or $(\mathrm{Spin}(4) imes\mathbb{Z}_{2m})/\mathbb{Z}_{2}$ with $\mathbb{Z}_2$ being the diagonal $\mathbb{Z}_2$ subgroup. The anomalies are determined by the consistency condition --- based on the Dai-Freed theorem --- of formulating a chiral fermion theory on a generic spacetime manifold with a structure associated with either one of the above symmetry groups and are represented by elements of some finite abelian groups. Accordingly, we give a reformulation of the anomaly cancellation conditions, and compare them with the previous result by Ibáñez and Ross. The role of symmetry extensions in discrete symmetry anomalies is clarified in a formal fashion. We also study gapped states of fermion with an anomalous global $\mathbb{Z}_n$ symmetry, and present a model for constructing these states in the framework of weak coupling.

研究の動機と目的

• 現代のトポロジカル場理論的手法を用いて、3+1次元カイラルフェルミオン理論における離散ゲージ異常キャンセレーション条件を再導出すること。
• 非捻り$\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$と捻り$(\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_{2m})/\mathbb{Z}_2$の対称性拡張の違いが異常を決定する役割を明確化すること。
• η不変量と等配分インデックス理論を用いて、離散ゲージ異常を低エネルギー・純粋な群論的記述で提示すること。
• 得られた異常条件をIbáñezとRossの先行結果と比較し、対称性拡張および電荷正規化の違いに起因する相違点を強調すること。
• 弱結合枠組みにおいて、異常なグローバル$\mathbb{Z}_n$対称性を持つギャップを持つフェルミオン状態を構成し、異常制約を用いること。

提案手法

• Dai-Freed定理を適用し、$\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$または$\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$構造を持つ一般の時空多様体上にカイラルフェルミオン理論を定式化し、分配関数の整合性を保証する。
• レンズ空間 bundle $L(n;1,k_n,1,-1)$ 上でのη不変量を用いて異常を計算し、$X \in T_n$に対して $\eta(X,R) = \eta(L(n;1,k_n,1,-1), \sigma_n(X)R)$ という公式を用いる。
• 多様体の生成子から表現への写像 $\sigma_n: T_n \to RU_0(\mathbb{Z}_n)$ を定義し、$n = p^v$ に応じた明示的値を示す。
• 同型写像 $\sigma_n: S_n \to I_n / (I_n \cap RU_0(\mathbb{Z}_n)^4)$ を用いて、異常を群 $\Gamma^{\mathrm{Spin}}_5(B\mathbb{Z}_n)$ と関連付け、異常キャンセレーションが $\eta \in \mathbb{Z}$ であることと同値であることを保証する。
• モジュラー制約を用いて異常キャンセレーション条件を導出：非捻りの場合 $ (n^2 + 3n + 2)\Delta s_3 = 0 \mod 6n $、$ 2\Delta s_1 = 0 \mod n $；捻りの場合 $ (2m^2 + m + 1)\Delta\tilde{s}_3 - (m+3)\Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 48m $、$ m\Delta\tilde{s}_3 + \Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 2m $。
• 弱結合モデルを用いて、異常な$\mathbb{Z}_n$対称性を持つギャップを持つ状態を構成し、そのような相が導出された異常制約によって保護されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3+1次元カイラルフェルミオン理論における離散ゲージ異常は、非捻り$\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$と捻り$\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$の間で、対称性群の選択にどのように依存するか？
• RQ2 離散$\mathbb{Z}_n$ゲージ対称性の正確な異常キャンセレーション条件は何か？これは連続的U(1)の場合とどのように異なるか？
• RQ3 対称性の拡張、たとえば$\mathbb{Z}_n$を$\mathbb{Z}_{ln}$に上げる、または捻りと非捻り群の間の切り替えが、異常構造にどのように影響するか？
• RQ4 弱結合枠組みにおいて、異常なグローバル$\mathbb{Z}_n$対称性を持つギャップを持つフェルミオン相を一貫して構成可能か？どのような制約に従うか？
• RQ5 $\eta$不変量と等配分インデックス理論は、トポロジカル枠組みにおいてこれらの異常を計算・分類する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 非捻り対称性群$\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$の場合、異常キャンセレーション条件は $ (n^2 + 3n + 2)\Delta s_3 = 0 \mod 6n $ および $ 2\Delta s_1 = 0 \mod n $ であり、$\Delta s_3$と$\Delta s_1$は$\mathbb{Z}_n$電荷の立方および線形結合である。
• 捻り群$\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$の場合、条件は $ (2m^2 + m + 1)\Delta\tilde{s}_3 - (m+3)\Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 48m $ および $ m\Delta\tilde{s}_3 + \Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 2m $ であり、$\Delta\tilde{s}_3$、$\Delta\tilde{s}_1$は奇数の$\mathbb{Z}_{2m}$電荷に基づいて定義される。
• 異常条件は対称性の拡張に敏感である：$\mathbb{Z}_n$を$\mathbb{Z}_{ln}$に上げる、または捻り・非捻り群の間を切り替えると、モジュラー制約が変化する。これは連続的U(1)の場合とは異なり、その構造を完全に捉えていない。
• レンズ空間 bundle 上でのη不変量の計算は、同型写像 $\sigma_n: S_n \to I_n / (I_n \cap RU_0(\mathbb{Z}_n)^4)$ を通じて、トポロジーと異常制約を結びつける完全な分類を提供する。
• 得られた異常条件は、IbáñezとRossの先行結果を一般化・明確化しており、連続的対称性埋め込みに基づく彼らの手法では、対称性拡張依存性の完全な構造を捉えていないことが示された。
• 異常キャンセレーション条件を満たす限り、弱結合モデルを用いて異常なグローバル$\mathbb{Z}_n$対称性を持つギャップを持つフェルミオン状態を構成可能であり、導出された制約の物理的意義を示している。