[論文レビュー] Discrete Mathematics and Physics on the Planck-Scale exemplified by means of a Class of 'Cellular Network Models' and their Dynamics

Manfred Requardt|arXiv (Cornell University)|May 15, 1996

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所的な力学的法則に従って進化するノード（細胞）と結合（相互作用）からなるセルラー・ネットワーク・モデルを用いて、離散的な時空および量子力学のモデルを提案する。離散解析、群oids構造、およびグラフ上の新しいフラクタル次元の概念を導入し、単純な規則から複雑な幾何学的・位相的構造がどのように出現するかを示し、離散数学に裏打ちされたプランクスケール物理学の枠組みを提示する。

ABSTRACT

Starting from the hypothesis that both physics, in particular space-time and the physical vacuum, and the corresponding mathematics are discrete on the Planck scale we develop a certain framework in form of a class of ' cellular networks' consisting of cells (nodes) interacting with each other via bonds according to a certain 'local law' which governs their evolution. Both the internal states of the cells and the strength/orientation of the bonds are assumed to be dynamical variables. We introduce a couple of candidates of such local laws which, we think, are capable of catalyzing the unfolding of the network towards increasing complexity and pattern formation. In section 3 the basis is laid for a version of 'discrete analysis' on 'graphs' and 'networks' which, starting from different, perhaps more physically oriented principles, manages to make contact with the much more abstract machinery of Connes et al. and may complement the latter approach. In section 4 several more advanced geometric/topological concepts and tools are introduced which allow to study and classify such irregular structures as (random)graphs and networks. We show in particular that the systems under study carry in a natural way a 'groupoid structure'. In section 5 a, as far as we can see, promising concept of 'topological dimension' (or rather: ' fractal dimension') in form of a 'degree of connectivity' for graphs, networks and the like is developed. The possibility of dimensional phase transitions is discussed.

研究の動機と目的

• 時空および真空が根本的に離散的であると仮定し、プランクスケールにおける物理学および数学の離散的枠組みを構築すること。
• 局所的進化法則に従って相互作用する細胞の動的ネットワークとして時空をモデル化すること。
• 非可換幾何学と接続するグラフおよびネットワーク上の離散解析の基礎を確立すること。
• 不規則なネットワークにおける接続性に基づく、位相的（フラクタル的）次元の新しい概念を導入・形式化すること。
• このような離散系における複雑性の出現、パターン形成、および次元的相転移の探求。

提案手法

• モデルは、細胞（ノード）とそれらを結ぶ結合からなるネットワークを用い、ノードの状態および結合の性質を動的変数として扱う。
• 進化は、周囲の構成に基づいてノードの状態および結合の強さ・方向性を更新する局所的法則によって支配される。
• 物理的および幾何的直感に由来する原理を用いて、グラフ上での離散解析を展開し、ネットワーク上での微積分に類似した操作を可能にする。
• 群oids構造がシステムに自然に埋め込まれており、不規則なネットワークにおける対称性および変換の数学的枠組みを提供する。
• グラフおよびネットワークの位相的（フラクタル的）次元の測度として、「接続度」の新しい概念を導入する。
• この枠組みを用いて、幾何学的および位相的転移、特に次元的相転移の可能性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純な局所的力学的法則から、どのように離散的ネットワークとしての時空モデルが出現するのか。
• RQ2 ランダム・グラフやセルラー・ネットワークのような不規則な離散的構造に対して、適切な次元の概念とは何か。
• RQ3 グラフ上にどのように離散解析を定式化し、連続体の微積分に類似させるとともに、非可換幾何学と接続できるか。
• RQ4 群oids構造は、どのようにして離散的時空モデルにおいて自然に出現するのか。
• RQ5 このような離散系において次元的相転移が生じ得るのか。また、それらが時空幾何学にどのような意味を持つのか。

主な発見

• システムは自然に群oids構造を有しており、離散的時空における対称性および変換の数学的基盤を提供する。
• 接続度に基づく「フラクタル次元」の新しい概念が導入され、不規則なネットワークへの適用が示された。
• グラフ上での離散解析の枠組みが構築され、コンヌーらの非可換幾何学における抽象的道具と接続された。
• モデルは、単純な局所的進化法則から出発して、複雑なパターンおよび構造的複雑性の出現を支持する。
• 次元的相転移の可能性が同定され、プランクスケールにおいて時空の次元が動的である可能性を示唆する。
• 連続体に基づくモデルとは対照的に、物理的に動機付けられた代替案を提供し、量子重力の離散数学への根拠を強化する。