[論文レビュー] Discrete realization of group symmetric LOCC-detection of maximally entangled state

Masahito Hayashi|ArXiv.org|Oct 19, 2008

Quantum Information and Cryptography参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単一のクディット系に対しては対称的で情報的に完全なPOVM（SIC-POVM）と相互に偏位基底（MUBs）を用い、合成クディット系に対してはクリフォード群に基づく構成を用いることで、双粒子量子系における最大もつれ状態を検出するための離散的で有限出力のLOCC（一方通行の局所操作と古典的通信）測定を提案する。主な貢献は、群対称性を保ちつつ、両ケースにおいて理想の無限出力測定と正確に等価な、証明可能に最適な離散的実装を達成することである。

ABSTRACT

Group symmetric LOCC measurement for detecting maximally entangled state is considered. Usually, this type measurement has continuous-valued outcomes. However, any realizable measurement has finite-valued outcomes. This paper proposes discrete realizations of such a group symmetric LOCC measurement.

研究の動機と目的

• 最大もつれ状態を検出する理論的に最適な群対称的LOCC測定（連続的出力）と、その有限出力での実装との間のギャップを解消すること。
• 群対称性を保持し、最適な検出忠実度を達成する離散的で一方通行のLOCC測定スキームを構築すること。
• 単一クディット系から合成クディット系（各部分系が2つのd次元系のテンソル積からなる）への離散的実装を拡張すること。
• 提案された離散的測定スキームが、最小の出力数と理想測定への忠実度の観点から最適であることを証明すること。

提案手法

• アリスの系における局所測定として、対称的で情報的に完全なPOVM（SIC-POVM）を用い、各ランク1射影演算子が異なる状態に対して一様な重なり 1/(d+1) を持つ純粋状態に対応する。
• 2段階のLOCCプロトコルを採用：アリスはSIC-POVMを実行し、その結果を古典的に通信する。その後、ボブはアリスの結果に対応する共役状態への2出力射影測定を実行する。
• 合成系の場合、クリフォード群のユニタリ表現を最大もつれ状態に作用させることで、局所ユニタリ変換に対して不変となる離散的LOCC測定を構築する。
• 結果として得られる正の演算子値測定（POVM）を、共役状態射影演算子のテンソル積の和として導出し、均等な重みを割り当てる。
• 導出された測定演算子が、それぞれ理想の群不変測定演算子 $ T_{ ext{inv}}^{1,A\to B} $ および $ T_{ ext{inv}}^{2,A\to B} $ と正確に一致することを証明する。
• 任意のこのような離散的実装が少なくとも $ d^2 $ 個の出力を必要とすることを示し、提案されたスキームがこの下限に正確に達していることから、最適性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大もつれ状態を検出するための理想の連続的出力群対称的LOCC測定を、群対称性と最適性を保ちつつ有限出力測定に離散化できるか？
• RQ2 単一クディット系において、理想の群不変測定を正確に実装するための離散的LOCC測定に必要な最小出力数は何か？
• RQ3 2クディット部分系からなる合成系において、最大もつれ状態の群対称的LOCC検出をどのように一般化できるか？
• RQ4 有限群（例：クリフォード群）に基づく有限の離散的LOCC測定スキームは、合成系において理想の連続的測定と同一の結果を達成できるか？
• RQ5 このような離散的実装の最適性は、出力数と理想測定への忠実度の両面から厳密に証明可能か？

主な発見

• SIC-POVMは、理想の群対称的測定 $ T_{ ext{inv}}^{1,A\to B} $ の離散的で一方通行のLOCC実装を提供し、正確に $ d^2 $ 個の出力を有し、理論的下限と一致する。
• 提案されたSIC-POVMに基づくスキームは、正確な等式 $ T(M_{ ext{sic}}) = T_{ ext{inv}}^{1,A\to B} $ を達成しており、出力数の観点での正しさと最適性を証明する。
• 各系の次元が $ ext{dim}({f H}_{A_1}) = ext{dim}({f H}_{A_2}) = ext{dim}({f H}_{B_1}) = ext{dim}({f H}_{B_2}) = d $ である合成系の場合、クリフォード群に基づく離散的LOCCスキームが理想の測定 $ T_{ ext{inv}}^{2,A\to B} $ を達成する。
• クリフォードに基づくスキームは、$ T_{ ext{inv}}^{2,A\to B} $ の任意の離散的実装に必要な最小の $ d^2 $ 個の出力を達成していることから、最適性が証明されている。
• 得られた測定演算子は局所ユニタリ変換に対して不変であり、両ケースにおいて理想の群不変演算子の形を正確に再現する。
• 本稿では、$ T(M) = T_{ ext{inv}}^{1,A\to B} $ を達成する任意の離散的LOCC測定が少なくとも $ d^2 $ 個の出力を必要とすることを確立し、SIC-POVM構成がこの下限に等しく達していることを示している。