[論文レビュー] Discreteness of spectrum and positivity criteria for Schrödinger operators

Vladimir Maz’ya, Mikhail Shubin|ArXiv.org|May 19, 2003

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非負のポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素のスペクトルの離散性および厳密正則性に関する必要十分条件の完全な特徴付けを確立する。モルチャンフの1953年の基準を一般化し、立方体内のコンパクト集合の無視可能性閾値—以前は小さな普遍定数に固定されていた—を (0,1) の任意の値にできることが示され、さらにこの閾値が立方体のサイズに依存する任意の関数 γ(d) を通じて変化させることも可能である。主な結果は、このようなすべての条件が事前に同値であるということであり、これはウィーナー容量の深い構造的性質を示している。

ABSTRACT

We provide a class of necessary and sufficient conditions for the discreteness of spectrum of Schrödinger operators with scalar potentials which are semibounded below. The classical discreteness of spectrum criterion by A.M.Molchanov (1953) uses a notion of negligible set in a cube as a set whose Wiener's capacity is less than a small constant times the capacity of the cube. We prove that this constant can be taken arbitrarily between 0 and 1. This solves a problem formulated by I.M.Gelfand in 1953. Moreover, we extend the notion of negligibility by allowing the constant to depend on the size of the cube. We give a complete description of all negligibility conditions of this kind. The a priori equivalence of our conditions involving different negligibility classes is a non-trivial property of the capacity. We also establish similar strict positivity criteria for the Schrödinger operators with non-negative potentials.

研究の動機と目的

• I.M. ゲルファンドが1953年に提起した、シュレーディンガー作用素のモルチャンフの離散性基準における最適定数に関する問題を解決すること。
• モルチャンフの無視可能性の概念を一般化し、容量閾値を立方体のサイズに依存する関数 γ(d) を通じて変化させることを許容すること。
• 変更された条件がスペクトルの離散性を保証するような、すべての許容可能な関数 γ(d) の完全な分類を提供すること。
• 同じ枠組みを非負ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素の厳密正則性基準へと拡張すること。
• 異なる γ(d) 関数で定義された無視可能性条件が、見た目には異なるにもかかわらず、事前に同値であることを確立すること。これはウィーナー容量の非自明な性質である。

提案手法

• コンパクト集合 F ⊂ Q̄_d が cap(F) ≤ γ(d) cap(Q_d) を満たすとき、無視可能であると定義する一般化された無視可能性の概念を導入する。ここで γ: (0,∞) → (0,1) である。
• limsup_{d↓0} d^{-2}γ(d) = ∞ を満たすすべての γ(d) に対して、Q_d → ∞ のとき inf_F ∫_{Q_d \ F} V(x) dx → ∞ であることを証明する。
• 容量に基づく推定とポテンシャル理論、特にグリーン関数および容量測度による容量の上限と下限の評価を用いる。
• 大きな球の補集合における容量を推定するために、球と関連する容量測度 μ_k^{(s)} の列を構成する。
• 最大原理と積分推定を用いて、μ のポテンシャルをバインドし、cap(B_r(P) \ Ω) の下界を導出する。
• スケーリングされた領域 G_d による R^n の有限多重被覆を用い、局所的推定をグローバルな L^2 界に移す。これにより作用素の正則性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モルチャンフのスペクトル離散性のための無視可能性条件における定数 γ は、固定された小さな定数ではなく、(0,1) の任意の値に置き換え可能か？
• RQ2 変更された条件がスペクトルの離散性に対して必要十分であるような関数 γ(d) の完全なクラスは何か？
• RQ3 異なる γ(d) 関数で定義された離散性条件同士が、見た目には異なるにもかかわらず、事前に同値であるか？
• RQ4 無視可能性閾値のこの柔軟性は、シュレーディンガー作用素の厳密正則性基準へと拡張可能か？
• RQ5 スペクトルが離散でなくなるのを防ぐ γ(d) の鋭い条件は何か？また、滑らかなポテンシャルを用いてこれを示せるか？

主な発見

• モルチャンフの元々の無視可能性条件における定数 γ は、(0,1) の任意の値に置き換え可能であり、これによりゲルファンドの1953年問題が解決される。
• スペクトルの離散性の必要十分条件は、すべての関数 γ(d) に対して同値であり、limsup_{d↓0} d^{-2}γ(d) = ∞ を満たす。
• γ(d) = O(d^2) の場合、条件はもはや離散性を保証しなくなり、滑らかなポテンシャルによる反例が存在する。
• 異なる γ(d) を用いた条件の同値性は、ウィーナー容量の構造的性質に起因する非自明な結果である。
• 非負ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素の厳密正則性基準についても、任意の γ ∈ (0,1) に対して成り立つ。固定された小さな定数に限らない。
• 反例により、γ(d) = C d^2 で任意の大きな C をとると、離散性が保証されないことが示され、d^{-2} の増加条件の鋭さが証明される。