[論文レビュー] Discretisation of the Bloch Sphere, Fractal Invariant Sets and Bell's Theorem

T. N. Palmer|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2018

Quantum Mechanics and Applications参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、三角関数の数論的性質を用いて離散化されたブロッホ球から構築された有限で決定論的な量子力学理論を提案する。状態空間内のフラクタル不変集合上に有限ビット列として量子状態を表現することで、補完性、不確定性、もつれといった主要な量子的特徴を再現するが、不変集合に制限した場合に統計的独立性や因数分解性を破らないままベルの不等式を破る。これは、標準量子力学の代替として実在的で非局所的だが局所的に因果的な理論を提供する。

ABSTRACT

An arbitrarily dense discretisation of the Bloch sphere of complex Hilbert states is constructed, where points correspond to bit strings of fixed finite length. Number-theoretic properties of trigonometric functions (not part of the quantum-theoretic canon) are used to show that this constructive discretised representation incorporates many of the defining characteristics of quantum systems: completementarity, uncertainty relationships and (with a simple Cartesian product of discretised spheres) entanglement. Unlike Meyer's earlier discretisation of the Bloch Sphere, there are no orthonormal triples, hence the Kocken-Specker theorem is not nullified. A physical interpretation of points on the discretised Bloch sphere is given in terms of ensembles of trajectories on a dynamically invariant fractal set in state space, where states of physical reality correspond to points on the invariant set. This deterministic construction provides a new way to understand the violation of the Bell inequality without violating statistical independence or factorisation, where these conditions are defined solely from states on the invariant set. In this finite representation there is an upper limit to the number of qubits that can be entangled, a property with potential experimental consequences.

研究の動機と目的

• 連続ヒルベルト空間に依存しないが、核心的な量子的特徴を保持する有限で決定論的な量子理論の代替を構築すること。
• 量子状態を動的不変なフラクタル集合上の点として再解釈することにより、量子力学の基礎的問題（特に非局所性と文脈依存性）を解決すること。
• 不変集合上に制限した場合に統計的独立性や因数分解性を破らないまま、有限理論においてベルの不等式が破られる理由を示すこと。
• 量子状態をフラクタル幾何における軌道の集合として物理的に解釈し、量子現象の実在的記述を提供すること。

提案手法

• 固定長のビット列を用いて、各点が角度の有限二進表現に対応するように、ブロッホ球の有限で任意に稠密な離散化を構築する。
• 三角関数の数論的性質（例：ニーヴェンの定理）を用い、ある状態（例：線形偏光）が表現可能である場合に、その双対状態（例：円偏光）が表現不能であることを保証することで、補完性を数論的に強制する。
• 宇宙論的状態空間における動的軌道のアトラクターとして、状態空間内にフラクタル不変集合 $I_U$ を定義し、物理的現実の状態がこれに属するものとする。
• 量子重ね合わせを $I_U$ 上の軌道の集合として表現し、量子振幅をそのような軌道の幾何的測度から生じさせる。
• 離散化ブロッホ球のカルテシアン積を用いて、複数キュービットへの一般化を図り、連続的でない有限構造を保ちながら、連続ヒルベルト空間を避ける。
• ベルの定理を再解釈する際、統計的独立性や因数分解性を不変集合 $I_U$ 上の状態に制限することで、この有限フレームワーク内でもベルの不等式が破られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続複素ヒルベルト空間に依存せず、補完性、不確定性、もつれといった量子力学の核心的特徴を有限で決定論的な理論が再現できるか。
• RQ2 有限で実在的理論において、局所的因果性と統計的独立性を保ちながら、ベルの不等式の破れをどのように説明できるか。
• RQ3 三角関数の数論的性質が、状態表現に量子的類似制約を強制するために果たす役割は何か。
• RQ4 状態空間内のフラクタル不変集合が、軌道が量子振幅を符号化する物理的基盤として機能できるか。
• RQ5 有限理論における最大もつれキュービット数の上限がある場合、実験的結果にどのような影響があるか。

主な発見

• 離散化ブロッホ球の構築により、線形偏光に対応する状態が有限ビットで表現可能であれば、それに対応する円偏光状態は表現不能となり、数論的性質によって補完性が強制される。
• モデルには正規直交三重対が存在しないため、コヘン＝スペンサーザーの定理は無効ではなく、文脈依存性が保たれる。
• もつれは離散化ブロッホ球のカルテシアン積から自然に生じ、完全な連続ヒルベルト空間を必要としない。
• ベルの不等式はモデル内で破られるが、不変集合 $I_U$ 上の状態に制限した場合に統計的独立性や因数分解性を破らない。これは量子理論と整合的である。
• 最大もつれキュービット数は有限の $\log_2 N$ 個に制限され、もつれ深さに実験的上限が存在する可能性を示唆する。
• モデルは重力が本質的にデコherenceする可能性を示唆しており、$I_U$ のフラクタル幾何が重力的効果の背後にある可能性があり、重力がもつれの証拠とはなり得ない可能性がある。