[論文レビュー] Discretisations of constrained KP hierarchies

Ralph Willox, Madoka Hattori|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 48被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、制約付きKP階層の離散的類似物を提示し、非線形シュレーディンガー方程式、Broer-Kaup方程式、Yajima-Oikawa系といったよく知られた連続的可積分系の、空間的・時間的離散化を導入する。また、それらのLax対も提示する。主な貢献は、Hirota-Miwa型方程式を用いた、離散階層を体系的に生成する手法であり、これによりBroer-KaupおよびYajima-Oikawa系の新しい離散版が得られる。

ABSTRACT

We present a discrete analogue of the so-called symmetry reduced or `constrained' KP hierarchy. As a result we obtain integrable discretisations, in both space and time, of some well-known continuous integrable systems such as the nonlinear Schroedinger equation, the Broer-Kaup equation and the Yajima-Oikawa system, together with their Lax pairs. It will be shown that these discretisations also give rise to a discrete description of the entire hierarchy of associated integrable systems. The discretisations of the Broer-Kaup equation and of the Yajima-Oikawa system are thought to be new.

研究の動機と目的

• 可積分系の対称性を縮約した、あるいは「制約付き」KP階層の離散的類似物を構築すること。
• 非線形シュレーディンガー方程式、Broer-Kaup方程式、Yajima-Oikawa方程式を含む、古典的な連続的可積分系の空間的・時間的離散化を提供すること。
• 制約付き系のための離散階層およびLax対を生成するために、Hirota-Miwa方程式を用いた体系的な枠組みを確立すること。
• 一般アフィンリー代数に関連する古典的可積分系に対する一般化された加法的離散化の欠如、特に主表現を超える場合を扱うこと。
• 離散格子方程式と離散Painlevé方程式の関係を明確にすること、特にqアナローグ構造が存在しない場合に注目すること。

提案手法

• 本稿では、Hirota-Miwa方程式を離散KP階層の基本的構成要素として用いる、Sato理論の離散版フレームワークを採用する。
• 全階層を構築するために、$j,k \in \{2,\ldots,n\}$、$j < k$ を満たす $E_{1jk}$ の形をしたHirota-Miwa方程式の生成集合を導入し、完全性と最小性を保証する。
• この方法は、Hirota-Miwa方程式の再帰的生成における閉包性に依存しており、複数の格子方向を含む方程式が、代数的整合性によって高次関係を生成する。
• 離散固有関数 $\psi^*$ は、tau関数のゲージ変換された比として定義され、格子上のシフトと離散KP枠組みにおけるDarboux変換を結びつける。
• 離散階層を、特定のシフト構造を持つ多次元格子に埋め込むことで、古典的離散KP理論を制約付き系を含むように一般化する。
• この構成により、得られる離散系がLax対を備え、可積分性を保つことが保証され、NLS、Broer-Kaup、Yajima-Oikawaといった既知の系への明示的還元が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的制約付きKP階層の、体系的な空間的・時間的離散化を構築する方法は何か？
• RQ2 制約付き系のための整合的な離散階層を生成するために必要なHirota-Miwa方程式の離散的類似物は何か？
• RQ3 可積分性とLax対構造を保つ新しい離散版Broer-KaupおよびYajima-Oikawa方程式を導出できるか？
• RQ4 離散tau関数およびそのシフト性質が、Darboux変換とLax対を生成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 離散階層は離散Painlevé方程式とどのように関係するか、特にqアナローグ構造が存在しない場合に注目する。

主な発見

• 本稿では、$j,k \geq 2$、$j < k$ を満たす $E_{1jk}$ のみを用いた最小生成集合を用いて、制約付きKP階層の離散的類似物を成功裏に構築した。これにより完全性と最小性が保証された。
• この方法により、Broer-KaupおよびYajima-Oikawa系の新しい可積分的離散化が得られ、これらは文献における新規貢献とされるものである。
• 離散NLS方程式は、離散KP階層の還元として回復され、そのLax対は離散固有関数形式により明示的に構成された。
• 全階層を生成するために必要な異なるHirota-Miwa方程式の数は正確に $\binom{n}{3}$ であり、集合 $\mathbb{E}$ に含まれる方程式数と一致し、整合性が確認された。
• 離散tau関数のシフト作用は、随伴固有関数 $\psi^*$ を介してDarboux変換と等価であることが示された。これは、古典的Sato理論を離散的状況に一般化したものである。
• この枠組みにより、関連する可積分系の全階層の離散的記述が可能となり、一貫性のある係数還元により既知の方程式への還元が可能となった。