[論文レビュー] Discretization of Lévy semistationary processes with application to estimation

Mikkel Bennedsen, Asger Lunde+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、原点における特異核を有するため非半マルティングレルのLévy半ステーションナリィ（LSS）過程のシミュレーションのための段階関数離散化手法を提案する。この手法により、ブラウン半ステーションナリィ（BSS）過程における積分型ボラティリティおよび滑らかさパラメータの推定器の正確なシミュレーションと有限標本評価が可能となり、単位時間あたり200件の観測数でさえも優れた性能を示す。

ABSTRACT

Motivated by the construction of the Itô stochastic integral, we consider a step function method to discretize and simulate volatility modulated Lévy semistationary processes. Moreover, we assess the accuracy of the method with a particular focus on integrating kernels with a singularity at the origin. Using the simulation method, we study the finite sample properties of some recently developed estimators of realized volatility and associated parametric estimators for Brownian semistationary processes. Although the theoretical properties of these estimators have been established under high frequency asymptotics, it turns out that the estimators perform well also in a low frequency setting.

研究の動機と目的

• 特異核を有する（原点で特異となる）非半マルティングレルのLévy半ステーションナリィ（LSS）過程の信頼性の高いシミュレーションスキームの開発。
• 特にガンマカーネルに駆動される過程を想定し、離散化手法の平均二乗誤差を評価すること。
• 最近開発されたBSS過程における積分型ボラティリティおよび滑らかさパラメータの推定器の有限標本性能を評価すること。
• ボラティリティ過程が長-range依存性を示す場合に、低周波数サンプリング下でのこれらの推定器のロバストネスを調査すること。

提案手法

• 伊藤確率積分にインspiredされた段階関数近似を用いてLSS過程を離散化し、数値積分によるシミュレーションを可能にする。
• 原点に特異性を有するガンマカーネルのケースにこの手法を適用し、非半マルティングレルな挙動を引き起こす。
• 離散化スキームの一般化された平均二乗誤差の上限を導出することで、シミュレーションの正確さを定量化する。
• 最大20,000回のモンテカルロシミュレーションを用いて、パワー変動に基づく推定器の有限標本特性を評価する。
• 高周波度パスからサブサンプリングを行い、低周波度観測を生成し、推定器のバイアスおよび一貫性を評価する。
• さまざまな確率的ボラティリティ仕様下で、定常ボラティリティの帰無仮説（H₀: σₜ = σ）をL1、L2、およびsupノルムで検定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点に特異核を有するLSS過程に対して、段階関数離散化手法の正確さはどの程度か、特に平均二乗誤差の観点から。
• RQ2 積分型ボラティリティおよび滑らかさパラメータの推定器は、有限標本において、特に観測数が少ない場合にどの程度の性能を示すか。
• RQ3 カーネルに特異性があるために非半マルティングレルとなる過程に対しても、この離散化手法は有効に機能するか。
• RQ4 サンプリング周波数の変化が、滑らかさパラメータおよびボラティリティ定常性の推定器のバイアスおよび検出力に与える影響は。
• RQ5 さまざまな確率的ボラティリティダイナミクス下で、パワー変動に基づく推定器の有限標本性能は。

主な発見

• 段階関数離散化手法は、LSS過程に対して高い正確さを達成しており、グリッドが細かくなるに従い平均二乗誤差が減少する。特に特異核を有する場合に重要である。
• 積分型ボラティリティおよび滑らかさパラメータの推定器は、単位時間あたり200件の観測数でさえも良好に機能し、優れた有限標本特性を示す。
• 滑らかさパラメータαの推定器は、サンプリングが不規則でλが大きい場合に下方バイアスを示すことが判明し、サンプリング設計に注意が必要であることを示唆する。
• 定常ボラティリティの検定（H₀: σₜ = σ）の検出力は標本サイズが大きくなるに従い上昇し、L²ノルムで最大となる。N=1000、β=0.05の場合、95%以上の検出力を達成する。
• β=5.0の場合、L²ノルム下でN=1000の時点で検出力が90%を超える。これは、長-range依存性を示すボラティリティダイナミクスの良好な検出を示唆する。
• シミュレーションスキームは、LSS過程の非マルコフ的かつ非半マルティングレルな特徴を、特に高周波度パスからのサブサンプリングと組み合わせることで、うまく捉えている。