[論文レビュー] Discretized Approaches to Schematization

Wouter Meulemans|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、入力多角形 $P$ に対して低フリードリヒ距離を有するサイクルを $G$ 内で探索する単純なマップマッチングと、$P$ と対称差が小さい連結な面集合を $G$ 内で探索する連結面選択の2つの手法を提案する。両問題は、面積保存制約や標準的なグリッド、三角形、六角形タイリングに対してもNP完全であることが示された。

ABSTRACT

To produce cartographic maps, simplification is typically used to reduce complexity of the map to a legible level. With schematic maps, however, this simplification is pushed far beyond the legibility threshold and is instead constrained by functional need and resemblance. Moreover, stylistic geometry is often used to convey the schematic nature of the map. In this paper we explore discretized approaches to computing a schematic shape $S$ for a simple polygon $P$. We do so by overlaying a plane graph $G$ on $P$ as the solution space for the schematic shape. Topological constraints imply that $S$ should describe a simple polygon. We investigate two approaches, simple map matching and connected face selection, based on commonly used similarity metrics. With the former, $S$ is a simple cycle $C$ in $G$ and we quantify resemblance via the Fréchet distance. We prove that it is NP-hard to compute a cycle that approximates the minimal Fréchet distance over all simple cycles in a plane graph $G$. This result holds even if $G$ is a partial grid graph, if area preservation is required and if we assume a given sequence of turns is specified. With the latter, $S$ is a connected face set in $G$, quantifying resemblance via the symmetric difference. Though the symmetric difference seems a less strict measure, we prove that it is NP-hard to compute the optimal face set. This result holds even if $G$ is full grid graph or a triangular or hexagonal tiling, and if area preservation is required. Moreover, it is independent of whether we allow the set of faces to have holes or not.

研究の動機と目的

• 平面グラフを解空間として用いることで、単純多角形の図式化の離散的アプローチを形式化し、分析すること。
• 単純マップマッチングと連結面選択という2つの主要な図式化手法の計算複雑性を調査すること。
• 面積保存や $Χ$-方向幾何構造といった現実的な幾何的制約下で、これらの問題に対する効率的アルゴリズムが存在するかを同定すること。
• 地図作成で一般的な幾何的単純化や入力仮定のもとでも、硬さの結果が保持されるかを検討すること。

提案手法

• 単純多角形 $P$ に $Χ$-方向の平面グラフ $G$ を重ね合わせ、図式化形状の離散的解空間を定義する。
• 単純マップマッチングでは、図式化形状 $S$ を $G$ 内の単純閉路 $C$ としてモデル化し、類似度をフリードリヒ距離 $d_{\textrm{F}}(C,P)$ で測定する。
• 連結面選択では、$S$ を $G$ 内の連結な面集合としてモデル化し、類似度を対称差 $d_{\textrm{SD}}(S,P)$ で測定する。
• 既知のNP困難問題（直交ステーナー木問題や平面3-SATなど）への還元を用いて、両問題のNP完全性を証明する。
• 解の構造を強制するために、特定の面積および重み制約を持つカスタム多角形入力を用いた還元を構築する。
• 硬さが、完全なグリッドグラフ、三角形／六角形タイリング、および面積保存要件を満たす場合でも成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた多角形 $P$ に対して、平面グラフ $G$ 内の単純閉路でフリードリヒ距離が $\varepsilon$ 以下となるようなものを求める問題は、計算的に容易か？
• RQ2 平面グラフ $G$ 内の連結面集合と入力多角形 $P$ 間の対称差を、効率的に最小化できるか？
• RQ3 面積保存制約やグリッド、三角形、六角形といった標準的なタイリングタイプにおいて、これらの問題のNP完全性は維持されるか？
• RQ4 有界な細さ（例：狭い領域の制限）といった現実的な幾何的入力仮定が、一般の硬さとは対照的に多項式時間アルゴリズムの存在をもたらす可能性はあるか？
• RQ5 実用的制約のもとで、固定パrameter可 tractable または近似アルゴリズムをこれらの問題に開発できるか？

主な発見

• 入力多角形 $P$ に対して、フリードリヒ距離が $\varepsilon$ 以下の単純閉路を平面グラフ $G$ 内で求める単純マップマッチング問題はNP完全である。
• このNP完全性は、$G$ が部分グリッドグラフである場合、面積保存が要求される場合、および固定された折り返し順序が指定される場合でも成立する。
• 平面グラフ $G$ 内の連結面集合で、対称差が $D$ 以下のものを求める連結面選択問題もNP完全である。
• この硬さは、$G$ が完全なグリッドグラフ、三角形または六角形タイリングである場合、あるいは面集合の穴を許容する場合でも成立する。
• NP完全性の結果は、平面グラフや構造的タイリングといったさまざまなグラフクラスにわたり、頑健に成立する。
• 最小フリードリヒ距離の近似がNP困難であるため、単純マップマッチングにはP = NPでない限り、妥当な近似アルゴリズムは存在しない。