[論文レビュー] Coloring graphs using topology

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 79被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、2次元の幾何的グラフを高次元グラフに埋め込み、精錬と自己コボルディズムを用いて辺の次数を低減し、4色可能性を達成するトポロジカルなアプローチを提案する。4色で十分な理由をトポロジカルに説明し、非可定向または高 genus の曲面に対しては4次元埋め込みを用いて5色に拡張する。計算的図版により支援される構成的フレームワークを提供する。

ABSTRACT

Higher dimensional graphs can be used to colour two-dimensional geometric graphs. If G the boundary of a three dimensional graph H for example, we can refine the interior until it is colourable with 4 colours. The later goal is achieved if all interior edge degrees are even. Using a refinement process which cuts the interior along surfaces we can adapt the degrees along the boundary of that surface. More efficient is a self-cobordism of G with itself with a host graph discretizing the product of G with an interval. It follows from the fact that Euler curvature is zero everywhere for three dimensional geometric graphs, that the odd degree edge set O is a cycle and so a boundary if H is simply connected. A reduction to minimal colouring would imply the four colour theorem. The method is expected to give a reason "why 4 colours suffice" and suggests that every two dimensional geometric graph of arbitrary degree and orientation can be coloured by 5 colours: since the projective plane can not be a boundary of a 3-dimensional graph and because for higher genus surfaces, the interior H is not simply connected, we need in general to embed a surface into a 4-dimensional simply connected graph in order to colour it. This explains the appearance of the chromatic number 5 for higher degree or non-orientable situations, a number we believe to be the upper limit. For every surface type, we construct examples with chromatic number 3,4 or 5, where the construction of surfaces with chromatic number 5 is based on a method of Fisk. We have implemented and illustrated all the topological aspects described in this paper on a computer. So far we still need human guidance or simulated annealing to do the refinements in the higher dimensional host graph.

研究の動機と目的

• 任意の2次元幾何的グラフを4色で彩色できる理由を、トポロジカルに説明すること。
• 3次元幾何的グラフの精錬を通じて、4色可能性を構成的に達成する方法を開発すること。
• 4次元単連結なホストグラフを用いて、非可定向または高 genus の曲面に対しても彩色枠組みを拡張すること。
• トポロジカルな障害に基づき、一般の2次元幾何的グラフに対して彩色数5が上限であることを示すこと。
• トポロジカルなプロセスを計算的に実装・可視化し、理論的主張を支援すること。

提案手法

• 2次元幾何的グラフ G を3次元幾何的グラフ H の境界として埋め込み、H の内部を精錬して内部のすべての辺の次数を偶数にし、4色可能性を保証する。
• 内部を表面に沿って切断する精錬プロセスを用い、境界に沿った辺の次数を調整する。
• ホストグラフが G × I（区間）を離散化するように、G と自身との自己コボルディズムを適用し、トポロジカルな一貫性を維持する。
• 3次元幾何的グラフではオイラー曲率がゼロであることに着目し、H が単連結であれば奇数次辺集合 O がサイクルであり、したがって境界であることを示す。
• Fiskの手法を用いて、特に非可定向または高 genus の場合に彩色数5の曲面を構成する。
• 人間の指導またはシミュレーテッド・アニーリングに基づく精錬を用いて、高次元におけるトポロジカルな構成を計算的に実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4色定理がトポロジカルに成立する理由は何か？ これは幾何的グラフ理論によって説明可能か？
• RQ2 任意の2次元幾何的グラフ（次数や向きに関係なく）は、トポロジカルな埋め込みと精錬によって4色で彩色可能か？
• RQ3 非可定向または高 genus の曲面に対して4色可能性を保証するための最小次元は何か？
• RQ4 特定の曲面タイプでは彩色数が5に増加するが、その原因となるトポロジカルな条件は何か？
• RQ5 高次元埋め込みを用いて、最小彩色を達成する構成的・アルゴリズム的手法を開発可能か？

主な発見

• 単連結な3次元幾何的グラフにおいて、奇数次辺集合 O はサイクルであり、したがって境界である。これにより精錬を用いた4色彩色が可能になる。
• 3次元幾何的グラフ H の内部を、すべての内部辺の次数が偶数になるまで精錬することで、境界 G の4色可能性が保証される。
• 3次元幾何的グラフの境界になれない非可定向曲面（例：射影平面）では、5色が必要である。
• 高 genus または非可定向な曲面に対しては、4次元単連結幾何的グラフへの埋め込みにより5色彩色が可能であり、5が上限であると示唆される。
• Fiskの手法を用いて、彩色数3, 4, 5の曲面の明示的例を構成し、理論的上限を確認した。
• 計算的実装により、すべてのトポロジカルプロセスが成功裏に可視化されたが、精錬プロセスには人間の指導またはシミュレーテッド・アニーリングの支援が必要である。