[論文レビュー] Discriminants of morphisms of sheaves

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラスマンニアンバンドル、トーラル的系列、射影を用いて、局所自由層の準同型写像のための統一的で幾何的な判別式の定義を提示する。これは、多項式の古典的判別式、スキームの準同型写像の判別式、および滑らかな射影的スキーム上の線型系の判別式を一般化する。主な貢献は、フラッグ多様体上の任意の線型系の判別式が無限大であることを証明することにある。

ABSTRACT

The aim of this paper is to give a unified definition of a large class of discriminants arising in algebraic geometry using the discriminant of a morphism of locally free sheaves. The discriminant of a morphism of locally free sheaves has a geometric definition in terms of grassmannian bundles, tautological sequences and projections and is a simultaneous generalization of the discriminant of a morphism of schemes, the discriminant of a linear system on a smooth projective scheme and the classical discriminant of degree $d$ polynomials. We study the discriminant of a morphism in various situations: The discriminant of a finite morphism of schemes, the discriminant of a linear system on the projective line and the discriminant of a linear system on a flag variety. The main result of the paper is that the discrimiant of any linear system on any flag variety is irreducible.

研究の動機と目的

• 任意のスキーム上での局所自由層の準同型写像のためのファンクター的で内在的な判別式の定義を提供すること。代数幾何学における散在する概念を統一すること。
• 多項式の古典的判別式、スキームの準同型写像の判別式、滑らかな射影的スキーム上の線型系の判別式を、一つの枠組みに一般化すること。
• 特に射影空間およびフラッグ多様体の文脈において、判別式の幾何的およびコホロロジー的構造を研究すること。
• ジェットバンドルとテイラー写像を用いて、射影空間上の線型系のk番目の判別式の理想層のための候補解体を構成すること。
• フラッグ多様体上の線型系の判別式の無限大性を証明すること。本稿の中心的結果である。

提案手法

• グラスマンニアンバンドル G_n(u*E*) とトーラル的系列を用いて、局所自由層の準同型写像 φ: u*E → F の判別式を定義する。
• 射影 π: G_n(u*E*) → X と双対化された準同型写像の余核の双対を用いて、行列式構成により判別式を閉部分スキームとして定義する。
• テイラー写像とジェットバンドル理論を適用して、P^1 上の k 番目の判別式 D^k(O(d)) を分析し、それが局所的完全交差であることを示す。
• ジェットバンドルの外冪のコホロロジー群の SL(V)-加群構造を活用して、判別式のグローバル構造を記述する。
• フラッグ多様体上でのテイラー写像 T^k の全射性を用いて、双対化された準同型写像の余核に関する補題 2.6 を適用し、D^k(L) の無限大性を導出する。
• ジェットバンドルとその外冪に関連する層の二重複体から全複体を構成し、判別式理想層のための解体の可能性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式の古典的判別式、スキームの準同型写像の判別式、滑らかな射影的スキーム上の線型系の判別式を、一つの幾何的でファンクター的な定義で統一できるか？
• RQ2 射影直線上の k 番目の判別式 D^k(O(d)) の構造は何か？また、それが局所的完全交差として実現可能か？
• RQ3 ジェットバンドルとテイラー写像を用いて、射影空間上の線型系の判別式の理想層のための候補解体をどのように構成できるか？
• RQ4 射影空間上でのジェットバンドルの外冪のコホロロジー的構造は何か？また、SL(V)-加群分解とどのように関係するか？
• RQ5 フラッグ多様体上の線型系の判別式は無限大であるか？その条件は何か？

主な発見

• 準同型写像 φ: u*E → F が、準同型写像 φ* の余核が局所自由である quasi-compact かつ既約なスキーム X 上で定義されるとき、判別式は無限大である。これは補題 2.6 で確立されている。
• すべての 1 ≤ k ≤ d に対して、P^1 上の k 番目の判別式 D^k(O(d)) は無限大の局所的完全交差である。これは定理 4.5 で証明されている。
• フラッグ多様体 G/P 上の線型系 L の判別式 D^k(L) は、すべての 1 ≤ k ≤ min{l_i + 1} に対して無限大である。これは定理 5.13 で確立されている。
• 定理 5.2 において、射影空間上でのジェットバンドルの外冪のすべての高次コホロロジー群の SL(V)-加群構造が完全に記述されている。
• 定理 5.10 において、SL(V)-線形化が施された一部のねじれたジェットバンドルの高次直接像が計算されている。
• 例 5.11 において、テイラー写像とジェットバンドル構造に基づいて、P(V*) 上の D^k(O(d)) の理想層のための局所自由層の複体の候補が提示されている。