[論文レビュー] Discriminants of Symmetric Polynomials

N. S. Perminov, Sh. Shakirov|ArXiv.org|Oct 30, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、n ≥ r 個の変数における次数 r の対称同次多項式の判別式について、低次元の対称成分の結果式への因数分解を活用した、除算を含まない計算効率の良い公式を提示する。主な貢献は、n ≈ 20 ですら数秒で記号計算が可能な閉形式の式であり、r = 2, 3, 4 および反対称の場合の明示的公式が導出されている。

ABSTRACT

A homogeneous polynomial S(x_1, ..., x_n) of degree r in n variables posesses a discriminant D_{n|r}(S), which vanishes if and only if the system of equations dS/dx_i = 0 has non-trivial solutions. We give an explicit formula for discriminants of symmetric (under permutations of x_1, ..., x_n) homogeneous polynomials of degree r in n >= r variables. This formula is division free and quite effective from the computational point of view: symbolic computer calculations with the help of this formula take seconds even for n ~ 20. We work out in detail the cases r = 2,3,4 which will be probably important in applications. We also consider the case of completely antisymmetric polynomials.

研究の動機と目的

• n ≥ r 個の変数における次数 r の対称同次多項式の判別式について、閉形式で除算を含まない公式を導出すること。
• 判別式の計算を高速かつ実用可能にすること。これは、指数的複雑性のため、高次の n や r に対しては元来計算不能である。
• 対称ケースにおける判別式の因数分解構造を調査し、単純な結果式の積としての構造を明らかにすること。
• 完全反対称多項式へのフレームワークの拡張を行い、n > 2 では判別式が 0 に、n = 2 では D₂|r(S) = S̃(1,1)² · D₂|r−1(S̃) に還元されることを示すこと。ここで S̃ は対称部分を表す。
• 非線形代数、フィンスラー幾何学、および理論物理学への応用を支援するため、計算可能な判別式表現を提供すること。

提案手法

• 変数の置換に対して不変であることを活用し、基本対称多項式を用いて対称同次多項式をパrameter化する。
• 臨界点条件 ∂S/∂xi = 0 を導出し、判別式 Dn|r(S) が 0 になるのはこの系に非自明な解が存在するときであることを示す。
• 判別式を、n を r−1 個の部分に分割する分割 M に対応する各項 dM(S) の積に因数分解し、多項係数によって重複度を定める。
• 各因子 dM(S) を高々 (r−1) 個の変数における結果式として表現し、再帰的かつ効率的な計算を可能にする。
• 完全反対称多項式に対して、オイラーの恒等式と対称性を用いて偏導出方程式系を簡略化する。
• Dn|r(x₁ʳ + … + xₙʳ) = 1 を用いて、判別式の全体的な定数を固定する正規化を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ r 個の変数における次数 r の対称同次多項式の判別式について、閉形式で除算を含まない公式を導出可能か？
• RQ2 対称多項式の判別式はどのように因数分解され、その因数分解構造を効率的計算に活用できるか？
• RQ3 完全反対称多項式の判別式の構造は何か？また、対称ケースとどのように関係するか？
• RQ4 この判別式公式を用いて、大規模な例（例：n ≈ 20）を記号計算で効率的に計算できるか？
• RQ5 このフレームワークは、非同次多項式や対称・反対称以外の対称性タイプへ一般化可能か？

主な発見

• n ≥ r 個の変数における次数 r の対称同次多項式の判別式は、n を r−1 個の部分に分割する組み合わせ M に対応する結果式 dM(S) の積に因数分解される。
• 各因子 dM(S) は高々 (r−1) 個の変数における結果式として表現され、n ≈ 20 ですら効率的な記号計算が可能である。
• r = 2 の場合、判別式は行列式に還元され、r = 3 および r = 4 の場合、明示的公式が導出され、計算的に扱えることが示された。
• 完全反対称多項式の判別式は n > 2 では 0 に、n = 2 の場合は D₂|r(S) = S̃(1,1)² · D₂|r−1(S̃) に還元され、ここで S̃ は対称部分を表す。
• 判別式の次数は n(r−1)ⁿ⁻¹ であり、一般の結果式理論と整合的であり、Dn|r(x₁ʳ + … + xₙʳ) = 1 の正規化条件により全体的な定数が固定される。
• 因数分解構造のおかげで、一般ケース（例：D₃|₃ は 2040 個の単項式を持つ）のように数百ページに及ぶ単項式の集合にまで膨張することを防ぎ、対称ケースが閉形式表現に適している。