[論文レビュー] Distances on a masure (affine ordered hovel)

Auguste Hébert|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非アルキメデス的局域体上のスプリット Kac-Moody 群に関連する Bruhat-Tits 建物の一般化である masure に、正型および負型の距離を導入することで、アパルティメント上のアフィン位相を保ち、群作用と再帰写像の連続性を保証する距離を構成し、分析する。主な貢献は、正型と負型の距離の和である混合距離の構成であり、これにより、masure が収縮可能で、完全かつ局所コンパクトな位相を備えた well-behaved な構造が得られ、群作用はリプシッツ的である。

ABSTRACT

A masure (a.k.a affine ordered hovel) I is a generalization of the Bruhat-Tits building that is associated to a split Kac-Moody group G over a non-archimedean local field. This is a union of affine spaces called apartments. When G is a reductive group, I is a building and there is a G-invariant distance inducing a norm on each apartment. In this paper, we study distances on I inducing the affine topology on each apartment. We show that some properties (completeness, local compactness, ...) cannot be satisfyed when G is not reductive. Nevertheless, we construct distances such that each element of G is a continuous automorphism of I.

研究の動機と目的

• アパルティメントごとにアフィン位相を誘導し、Kac-Moody 群 G の作用と整合する masure 上の距離を定義すること。
• 建物でない masure に対しては、完全かつ局所コンパクトで G-不変な距離が存在しないこと、これはノルム制限付き距離を支持できないことにつながるという問題に対処すること。
• すべての群元およびセクターゲルムを中心とする再帰写像がリプシッツ連続となるような距離を構成すること。
• 正型と負型の距離を組み合わせた混合距離を導入し、完全性、局所コンパクト性、離散的軌道を達成すること。
• 正型、負型、混合距離によって誘導される位相の下で masure が収縮可能であることを証明し、位相的取り扱いの容易さを保証すること。

提案手法

• 標準アパルティメント上の固定ノルムを用いて、セクターゲルムと再帰写像を用いて正型および負型距離を定義する。
• セクターゲルムを中心とする再帰写像を用いて距離を構成し、同じ符号の再帰写像に対して 1-リプシッツ性を保証するとともに、群元に対してもリプシッツ連続性を満たすようにする。
• 正型（それぞれ負型）距離のすべての組が関係 $kd_1 \leq d_2 \leq \ell d_1$（$k,\ell > 0$）の下で同値であることを証明し、一意な位相 $\mathscr{T}_+$ および $\mathscr{T}_-$ が定義されることを確立する。
• 正型距離と負型距離の和として混合距離を導入し、すべての群作用および再帰写像と整合することを保証する。
• 写像 $+_{+\infty}$ および再帰写像 $\rho_{\pm\infty}$ の連続性を用いて、位相におけるパスの収束性と連続性を証明する。
• 翻訳および再帰写像を用いて明示的な強変形再び $\chi_u$ および $\Upsilon_u$ を構成し、masure の収縮可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 建物でない masure が、各アパルティメント上でアフィン位相を誘導する G-不変距離をもつことができるか？
• RQ2 群作用および再帰写像と整合する masure 上の距離の、位相的および計量的性質（完全性、局所コンパクト性）は何か？
• RQ3 すべての $g \in G$ がリプシッツ写像として作用し、すべてのセクターゲルムを中心とする再帰写像がリプシッツであるような masure 上の距離は存在するか？
• RQ4 masure 上に、特殊頂点の G-軌道が離散的でありながら、再帰写像および群作用の連続性を保つような位相を構成できるか？
• RQ5 正型、負型、または混合距離によって誘導される位相の下で、masure は収縮可能か？

主な発見

• masure 上のいかなる距離も、各アパルティメント上でノルムを誘導せず、再帰写像が連続である限り、完全または局所コンパクトな距離にはならない。
• masure 上のすべての正型距離は同値であり、一意な位相 $\mathscr{T}_+$ を定義する。同様に負型距離に対しても同様の性質が成り立ち、$\mathscr{T}_-$ が定義される。
• masure が建物でない場合、位相 $\mathscr{T}_+$ と $\mathscr{T}_-$ は異なるが、masure が建物である場合には標準的建物位相と一致する。
• 正型と負型距離の和である混合距離は、あらゆる構成において同値であり、完全かつ局所コンパクトな位相 $\mathscr{T}_m$ を定義する。
• 混合位相 $\mathscr{T}_m$ の下で、特殊頂点の G-軌道 $\mathcal{I}_0$ は離散的であり、すべての群元および再帰写像がリプシッツ的である。
• 正型位相 $\mathscr{T}_+$、負型位相 $\mathscr{T}_-$、混合位相 $\mathscr{T}_m$ の下で、masure $\mathcal{I}$ は収縮可能であり、翻訳および再帰写像を用いた明示的な強変形再びが構成されている。