[論文レビュー] Distinguishability and Accessible Information in Quantum Theory

Christopher A. Fuchs|ArXiv.org|Jan 23, 1996

Quantum Information and Cryptography参考文献 456被引用数 204

ひとこと要約

本学位論文は、3つの主要な指標である忠実度、カルバック・ライバラー距離、相互情報量を用いて、非直交量子状態の識別可能性を定量化する、きめ細やかな情報理論的枠組みを確立する。これらの量に対する正確な式および最適測定を導出し、主な貢献として、ホールォの量子相互情報量における上界の簡略化された証明と、非線形行列方程式を用いた、次第にきつい下界を生成する新しい手法を含む。

ABSTRACT

This document focuses on translating various information-theoretic measures of distinguishability for probability distributions into measures of distin- guishability for quantum states. These measures should have important appli- cations in quantum cryptography and quantum computation theory. The results reported include the following. An exact expression for the quantum fidelity between two mixed states is derived. The optimal measurement that gives rise to it is studied in detail. Several upper and lower bounds on the quantum mutual information are derived via similar techniques and compared to each other. Of note is a simple derivation of the important upper bound first proved by Holevo and an explicit expression for another (tighter) upper bound that appears implicitly in the same derivation. Several upper and lower bounds to the quan- tum Kullback relative information are derived. The measures developed are also applied to ferreting out the extent to which quantum systems must be disturbed by information gathering measurements. This is tackled in two ways. The first is in setting up a general formalism for describing the tradeoff between inference and disturbance. The main point of this is that it gives a way of expressing the problem so that it appears as algebraic as that of the problem of finding quantum distinguishability measures. The second result on this theme is a theorem that prohibits "broadcasting" an unknown (mixed) quantum state. That is to say, there is no way to replicate an unknown quantum state onto two separate quantum systems when each system is considered without regard to the other. This includes the possibility of correlation or quantum entanglement between the systems. This result is a significant extension and generalization of the standard "no-cloning" theorem for pure states.

研究の動機と目的

• 非直交量子状態の操作的識別可能性を、古典的情報理論的指標を基盤として形式化すること。
• 非直交量子状態は完全に識別できないという根本的問題に取り組み、識別可能性の統計的指標を必要とすること。
• 量子測定の最適化を経て、古典的識別可能性指標（忠実度、カルバック・ライバラー距離、相互情報量）の量子版を導出すること。
• 推論と撹乱の関係を結ぶ形式的枠組みを確立し、未知の量子状態に対する非放送定理の証明に至ること。
• 量子識別可能性指標の正確な式およびきつい境界を提供し、量子暗号、計算、通信への応用を含む。

提案手法

• 忠実度、カルバック・ライバラー距離、相互情報量といった古典的情報理論的指標を出発点として、量子識別可能性を定義する。
• 正の作用素値測定（POVM）における最適化を適用し、各指標の最適値として「量子識別可能性」を定義する。
• 非線形行列方程式の解法を含む高度な行列解析技術を用い、量子カルバック情報量の次第にきつい下界を導出する。
• トレース不等式と固有値理論を用いて、量子相互情報量の境界を導出し、ホールォの1973年の上界の簡略化された導出を実現する。
• 純化写像とセスキリニア形式の技術を用いて、量子状態の識別可能性と測定撹乱を分析する。
• 推論（情報の獲得）と撹乱（状態の撹乱）のトレードオフを表現する代数的形式的枠組みを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的識別可能性指標を、非直交量子状態の識別可能性を定量化するためにどのように適合させることができるか？
• RQ2 忠実度、カルバック・ライバラー距離、相互情報量という3つの識別可能性指標のそれぞれを最大化または最小化する最適な量子測定は何か？
• RQ3 量子相互情報量の既知で最もきつい上界と下界は何か？ そして、行列解析を用いてそれらをどのように導出できるか？
• RQ4 量子カルバック・ライバラー情報量の下界を次第にきつくなるように生成する体系的な手法を開発できるか？
• RQ5 状態を撹乱させずにその識別を推論することは、どの程度可能であり、どのような根本的限界が存在するか？

主な発見

• 量子忠実度の正確な式が導出され、忠実度の最大化を達成する最適測定が完全に特徴付けられた。
• ホールォの1973年の量子相互情報量における上界の簡略化された導出が提供され、その構造と仮定が明確にされた。
• 量子相互情報量の明示的でよりきつい上界が特定され、簡略化されたホールォの上界の導出過程において暗黙的に現れる。
• 量子カルバック・ライバラー情報量の下界を次第にきつくなるように生成する体系的な手法が開発され、高次非線形行列方程式の解法にのみ依存する。
• 非放送定理が証明された：未知の量子状態を、それぞれの系に2つのコピーを作成することは、相関がなくても不可能である。
• 推論と撹乱のトレードオフの形式的枠組みが確立され、識別可能性指標の最適化と類似した代数的表現に帰着可能であることが示された。