[論文レビュー] Distributed Property Testing for Subgraph-Freeness Revisited

Orr Fischer, Tzlil Gonen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、CONGESTモデルにおける部分グラフフリー性の分散型性テストを再考し、任意のサイクル $C_k$ に対して $C_k$-フリー性が $O(1/\theta)$ ラウンドでテスト可能であることを示している。また、$\theta$ が小さすぎない場合、三角形フリー性は $O(1)$ ラウンドでテスト可能である。$K_5$ を除く一般のグラフクラスについて、$H$-フリー性が $O(1/\theta)$ ラウンドでテスト可能であることを示し、エッジ数と $\theta$ に明示的な依存関係を持つ $K_s$-フリー性のサブラインアー・ラウンドアルゴリズムを提供している。さらに、特定の部分グラフに対しては、内在的な $\theta$-依存性を示す下界を確立している。

ABSTRACT

In the subgraph-freeness problem, we are given a constant-size graph $H$, and wish to determine whether the network contains $H$ as a subgraph or not. The \emph{property-testing} relaxation of the problem only requires us to distinguish graphs that are $H$-free from graphs that are $ε$-far from $H$-free, meaning an $ε$-fraction of their edges must be removed to obtain an $H$-free graph. Recently, Censor-Hillel et. al. and Fraigniaud et al. showed that in the property-testing regime it is possible to test $H$-freeness for any graph $H$ of size 4 in constant time, $O(1/ε^2)$ rounds, regardless of the network size. However, Fraigniaud et. al. also showed that their techniques for graphs $H$ of size 4 cannot test $5$-cycle-freeness in constant time. In this paper we revisit the subgraph-freeness problem and show that $5$-cycle-freeness, and indeed $H$-freeness for many other graphs $H$ comprising more than 4 vertices, can be tested in constant time. We show that $C_k$-freeness can be tested in $O(1/ε)$ rounds for any cycle $C_k$, improving on the running time of $O(1/ε^2)$ of the previous algorithms for triangle-freeness and $C_4$-freeness. In the special case of triangles, we show that triangle-freeness can be solved in $O(1)$ rounds independently of $ε$, when $ε$ is not too small with respect to the number of nodes and edges. We also show that $T$-freeness for any constant-size tree $T$ can be tested in $O(1)$ rounds, even without the property-testing relaxation. Building on these results, we define a general class of graphs for which we can test subgraph-freeness in $O(1/ε)$ rounds. This class includes all graphs over 5 vertices except the 5-clique, $K_5$. For cliques $K_s$ over $s \geq 3$ nodes, we show that $K_s$-freeness can be tested in $O(m^{1/2-1/(s-2)}/ε^{1/2+1/(s-2)})$ rounds, where $m$ is the number of edges.

研究の動機と目的

• 分散型 CONGEST モデルにおいて、どの部分グラフ $H$ が定数時間でフリー性をテスト可能かを特定すること。
• これまでの手法では $C_5$-フリー性が定数時間でテスト不可能であると示されていたが、$|H| \leq 4$ の小さなグラフに対する既知の定数時間アルゴリズムとそれらの間のギャップを埋めること。
• 特に木や完全グラフに対して、性質テストの緩和なしに、サブラインアーまたは定数時間のアルゴリズムが存在するかを調査すること。
• 特にサイクルや完全グラフに対して、$H$-フリー性のラウンド複雑度のタイトな境界を確立し、距離パラメータ $\epsilon$ への必要となる依存関係を同定すること。

提案手法

• 各頂点が確率 $1/n$ で独立に自身をサンプリングする新しいサンプリングベースのプロトコルを導入し、必要な役割を果たす頂点がちょうど1つ選ばれる確率が定数であることを保証する。
• 頂点が $s$ 個の色クラスに分けられ、エッジが連続するレイヤー間でのみ存在するように制限された、$s$-クリークや $s$-サイクルを模倣するための階層的構造 $BC(s,n)$ を使用する。
• $j$-安全頂点の定義を導入する：頂点が $V^j$ を除く $s$ 個の頂点集合の各々にちょうど1つの隣接頂点を持つとき、その頂点は $j$-安全であると定義する。
• ランダムな重みを $[1,n^4]$ から選ぶ重み付き優先探索（BFS）を $1$-安全頂点から開始し、高確率で完全なサイクルやクリークを1つの頂点が検出可能であるようにする。
• プロトコルの片側誤り性を活用し、繰り返しを用いて成功確率を増幅し、$O(n^{o(1)})$ ラウンドで定数の成功確率を達成する。
• グローバルなグラフパラメータが得られない場合、$C_k$-フリー性に $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$ ラウンドが必要であることを示す下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $k$ に対して、$C_k$-フリー性が $O(1/\epsilon)$ ラウンドでテスト可能か？特に $k=3,4$ の場合の $O(1/\epsilon^2)$ の既存の境界を改善できるか？
• RQ2 $K_5$ を除く、サイズ5のグラフ $H$ に対して、$H$-フリー性が定数時間でテスト可能か？その場合、どのような構造的条件が必要か？
• RQ3 特定の $H$（例：木や完全グラフ）に対して、性質テストの緩和なしに $H$-フリー性を正確にテストできるか？その場合、何ラウンドで可能か？
• RQ4 $K_s$-フリー性の最適なラウンド複雑度は何か？また、$\epsilon$、$m$、$n$ にどのように依存するか？
• RQ5 $C_k$-フリー性をテストする際に、最悪のグラフ構造でも $\epsilon$-依存性が本質的であることを示す下界は存在するか？

主な発見

• 任意のサイクル $C_k$ に対して、$C_k$-フリー性は $O(1/\epsilon)$ ラウンドでテスト可能であり、三角形や $C_4$ の場合の従来の $O(1/\epsilon^2)$ の境界を改善している。
• 三角形フリー性は、$\epsilon \geq \min\{m^{-1/3}, n/m\}$ のとき、$O(1)$ ラウンドでテスト可能であり、グラフにやや自然な条件下では $\epsilon$-依存性が不要になる。
• 任意の定数サイズの木 $T$ に対して、$T$-フリー性は正確に（緩和なしに）$O(1)$ ラウンドでテスト可能であり、有向 CONGEST モデルでも同様に成立する。
• すべての $H$（$K_5$ を除く）が5頂点を持つグラフクラス $\mathcal{H}$ に対して、$H$-フリー性は $O(1/\epsilon)$ ラウンドでテスト可能であり、これはサイクルをすべてカバーするエッジの削除が存在することによって定義される。
• $K_s$-フリー性に対しては、ラウンド複雑度が $O(\epsilon^{-1/2 - 1/(s-2)} m^{1/2 - 1/(s-2)})$ であり、$s=5$ かつ $\epsilon$ が定数のとき、$O(m^{1/6})$ ラウンドが得られる。
• グローバルなグラフパラメータが得られない場合、$C_k$-フリー性に $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$ ラウンドが必要である下界が示され、内在的な $\epsilon$-依存性が本質的であることが示された。