[論文レビュー] Further Algebraic Algorithms in the Congested Clique Model and Applications to Graph-Theoretic Problems

François Le Gall|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンフリクトクラウドモデルにおける新しい代数的アルゴリズムを提示し、複数の行列積、行列式、ランク、逆行列、線形方程式系の効率的計算を可能にしている。ブロック分解と確率的行列技術を用いることで、k個の行列積に対して非線形のラウンド複雑性を達成し、全ペアの最短経路、直径計算、Gallai-Edmonds分解および二部グラフにおける最小頂点被覆といったグラフ分解問題の高速化を実現している。

ABSTRACT

Censor-Hillel et al. [PODC'15] recently showed how to efficiently implement centralized algebraic algorithms for matrix multiplication in the congested clique model, a model of distributed computing that has received increasing attention in the past few years. This paper develops further algebraic techniques for designing algorithms in this model. We present deterministic and randomized algorithms, in the congested clique model, for efficiently computing multiple independent instances of matrix products, computing the determinant, the rank and the inverse of a matrix, and solving systems of linear equations. As applications of these techniques, we obtain more efficient algorithms for the computation, again in the congested clique model, of the all-pairs shortest paths and the diameter in directed and undirected graphs with small weights, improving over Censor-Hillel et al.'s work. We also obtain algorithms for several other graph-theoretic problems such as computing the number of edges in a maximum matching and the Gallai-Edmonds decomposition of a simple graph, and computing a minimum vertex cover of a bipartite graph.

研究の動機と目的

• 集中型行列アルゴリズムの適用範囲をコンフリクトクラウドモデルへ拡張するための高度な代数的技術の開発。
• 先行研究の制限を克服し、単一の正方行列乗算にとどまらず、複数の独立した行列積と長方形行列を扱えるようにすること。
• 全ペアの最短経路、直径、最大マッチング、頂点被覆といった基本的なグラフ理論的問題に対する効率的な分散アルゴリズムの設計。
• コンフリクトクラウドにおける新しい並列化戦略を通じて、行列積の個数kに対して非線形の依存性を達成すること。
• 確率的行列代数を用いてGallai-Edmonds分解および関連するグラフ問題の分散実装を提供すること。

提案手法

• k個の行列積を計算する際、nノードのネットワークをk個のグループにブロック分解し、各ブロックに集中型行列乗算アルゴリズムの分散版を割り当てて1つの積を計算する。
• 有限体 F = Z_p の要素による行列変数の確率的代入を適用し、拡張行列のランク条件を用いて非臨界頂点をテストする。
• ランダムな下三角Toeplitz行列と行列逆行列を用いて、確率的Tutte行列の右零空間の基底を構築し、非臨界頂点を同定する。
• 先行研究の逆行列および行列乗算アルゴリズムを活用し、高確率で O(n^{1-1/ω}) ラウンドで零空間基底を計算する。
• 単位行列に零空間基底行列を乗算し、行単位で e_i M ≠ 0 かどうかをテストすることで、ランクの増加を介して非臨界頂点を同定する。
• 既知の還元を介して、最小頂点被覆や最大マッチングといったグラフ問題をGallai-Edmonds分解に還元し、コンフリクトクラウドで効率的に実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンフリクトクラウドモデルにおいて、k個の独立した行列積を、単一行列乗算のk回の逐次的適用よりも効率的に計算できるか？
• RQ2 長方形行列乗算とランク計算を、コンフリクトクラウドモデルでどのように効率的に並列化できるか？
• RQ3 コンフリクトクラウドで代数的手法を用いて、Gallai-Edmonds分解を非線形ラウンドで計算できるか？
• RQ4 コンフリクトクラウドで代数的手法を用いて、全ペアの最短経路とグラフ直径を計算する際のラウンド複雑性は何か？
• RQ5 確率的行列代数を用いて、通信コストを低く抑えて、最大マッチングや最小頂点被覆といった組合せ的グラフ問題をコンフリクトクラウドで解けるか？

主な発見

• k < n の場合、k個の独立した n×n 行列積の計算において、O(k^{2/ω} n^{1-2/ω}) のラウンド複雑性を達成し、ナイーブな O(k n^{1-2/ω}) アプローチを改善している。
• k ≥ n の場合、ラウンド複雑性は O(k) に低下し、kが大きい場合にはkに線形依存となることが示された。
• Gallai-Edmonds分解は Õ(n^{1-1/ω}) ラウンドで計算可能であり、これは二部グラフにおける最小頂点被覆の効率的計算を意味する。
• 確率的行列代入と零空間基底計算を用いて、非臨界頂点集合 D(G) を O(n^{1-1/ω}) ラウンドで計算可能である。
• 整数重みが小さいグラフにおける全ペアの最短経路と直径計算について、より良いラウンド複雑性を達成している。
• Censor-Hillel らの先行研究を拡張し、長方形行列と複数の積をサポートすることで、グラフ理論的問題への応用範囲を広げている。