[論文レビュー] Distributed Treewidth Computation and Courcelle's Theorem in the CONGEST Model

Jauregui, Benjamin, Li, Jason+2 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有界幅の木幅を持つグラフにおけるモノアディック第二階論理（MSO）論理的性質を、CONGESTモデルにおいて Õ(D) ラウンドで決定する分散アルゴリズムを提示する。ここで D はネットワーク径路長である。本手法は、まず、O(k) の幅を持つ低混雑度の木分解を Õ(k^O(k)D) ラウンドで計算し、低混雑度のショートカットと頂点分離集合の計算を用いて、効率的な動的計画法を実行可能にする。

ABSTRACT

Algorithmic meta-theorems, stating that graph properties expressible in some particular logic can be decided efficiently in graph classes having some specific structural properties, are now standard in sequential graph algorithms. One of the most classic examples is Courcelle's theorem: all properties expressible in Monadic Second-Order logic (MSO) are decidable in linear time in graphs of bounded treewidth. We provide here a distributed version of Courcelle's theorem, in the standard CONGEST model for distributed computing: For any MSO formula $φ$ and any constant $k$, there is a CONGEST algorithm that, given an input communication network $G$ of treewidth at most $k$ and of diameter $D$, decides if $G$ satisfies property $φ$ in $ ilde O(D)$ rounds. Simple examples show that the dependency on $D$ is unavoidable. Also, if we drop the assumption of bounded treewidth, deciding MSO properties such as 3-colorability are known to require $ ildeΩ(n^2)$ rounds in the CONGEST model. Our results extend to optimization problems (e.g., computing a maximum size independent set, or a minimum dominating set) and counting (e.g. triangle counting). As usual, the $ ilde{O}$ notation hides polylogarithmic factors in $n$; here it also hides a constant factor depending on $k$ and on the MSO formula $φ$. We also give a distributed algorithm producing a linear approximation for treewidth: For any $k$, it decides that the treewidth of the input network $G$ is larger than $k$ or computes a tree decomposition of width $O(k)$ and depth $O(\log n)$, in $ ilde O(k^{O(k)} D)$ rounds in CONGEST. Our algorithms make use of the low-congestion shortcuts framework introduced by Ghaffari and Haeupler [SODA 2016], and our main technical tool is an $ ilde O(k^4 D)$ algorithm for computing $(s,t)$-vertex separators of size at most $k+1$ in graphs of treewidth at most $k$.

研究の動機と目的

• Courcelleの定理を分散CONGESTモデルに拡張し、有界木幅グラフにおけるMSO性質の効率的決定を可能にする。
• 木幅 ≤ k であるグラフに対して、幅 O(k) の木分解を、低深さと低混雑度で計算する分散アルゴリズムを設計する。
• 有界木幅下でのMSO意思決定、最適化、カウント問題に対して、サブラインアーリングラウンド複雑度を達成する。
• D依存性が避けられないことと、木幅が有界でない場合に ω(n²) の下界が得られることを示すことにより、タイトなラウンド複雑度境界を確立する。

提案手法

• 低混雑度ショートカットフレームワークを活用し、木分解上での効率的な分散計算を可能にする。
• 木幅 ≤ k であるグラフにおいて、サイズ ≤ k+1 の (s,t)-頂点分離集合を Õ(k⁴D) ラウンドで計算するアルゴリズムを開発する。
• これらの分離集合を用いて、幅 O(k)、深さ O(log n) の木分解を Õ(k^O(k)D) ラウンドで構築する。
• 下位から上位への伝搬と上位から下位への伝搬を用いて、木分解上での動的計画法を実行する。
• ホモモルフィズム類のテーブルを用いてMSO論理式の評価を符号化し、最適化およびカウントのバージョンではクラスの組み合わせに対して最大値および合計値の演算を用いる。
• 各木に対して多項対数的回数のエッジ使用を管理することで混雑度を制御し、1ラウンドあたりのメッセージサイズを O(log n) ビットに保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界木幅グラフにおいて、CONGESTモデルでMSO性質を Õ(D) ラウンドで決定できるか？
• RQ2 CONGESTモデルにおいて、サブラインアーリングラウンドで低幅の木分解を計算できるか？
• RQ3 木幅が有界でない場合、MSO評価のラウンド複雑度はいかほどか？
• RQ4 分散木分解を、MSO以外の問題、例えば自己同型検出などに応用できるか？
• RQ5 局所性および有界局所的木幅を活用することで、局所的MSO論理式に対して定数ラウンドのアルゴリズムを達成できるか？

主な発見

• 任意の木幅 ≤ k のグラフに対して、MSO論理式 φ は、CONGESTモデルで Õ(D) ラウンドで決定可能であり、D 依存性は避けられない。
• 幅 O(k)、深さ O(log n) の木分解は Õ(k^O(k)D) ラウンドで計算可能であり、木幅が k を超えるか否かを判断する。
• 動的計画法を用いた木分解上での計算により、最大独立集合や最小支配集合といった最適化問題が Õ(D) ラウンドで解決可能である。
• 三角形カウントなどのカウント問題は、数値表現に起因する追加の log(♯sol(n)) 要因を除き、Õ(D) ラウンドで解決可能である。
• ラウンド複雑度はタイトであり、3色塗り分けや他のMSO性質は、有界木幅がなければ ˜Ω(n²) ラウンドを必要とする。
• 低混雑度ショートカットと (s,t)-頂点分離集合の使用により、重複する部分木や帯域幅制限がある中でも、効率的な分散計算が可能である。