[論文レビュー] Distribution of points with prescribed derivative in polynomial dynamics

Thomas Gauthier, Gabriel Vigny|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、次数 $ d \geq 2 $ の多項式写像 $ f $ について、$ n $-回繰り返しの導関数 $ (f^n)'(z) = \lambda $ を満たす点 $ z $ の等分布性が、弱い力学的条件下で均衡測度 $ \mu_f $ へ収束することを確立する。さらに、2次多項式族 $ z^2 + c $ において、$ (p_c^n)'(c) = \lambda(c) $ を満たすパラメータ $ c $ が、マンデルブロ集合の調和測度へ等分布することを証明し、任意の多項式 $ \lambda(c) $ に対して弱位相での収束が成り立つことを示す。

ABSTRACT

In analogy to the equidistribution of preimages of a prescribed point by the iterates of a polynomial map in the complex plane towards the equilibrium measure, we show here the equidistribution of points for which the derivative of the n-th iterate of the polynomial takes a suitable prescribed value towards the equilibrium measure. We then give a similar statement in the space of degree d polynomials for the equidistribution of parameters for which the n-derivative at a given critical value has a prescribed derivative towards the activity current of the corresponding critical point.

研究の動機と目的

• 次数 $ d \geq 2 $ の多項式 $ f $ に対して、$ (f^n)'(z) = \lambda $ を満たす点 $ z \in \mathbb{C} $ の等分布性が均衡測度 $ \mu_f $ へ収束することを確立すること。
• 2次多項式族 $ z^2 + c $ のパラメータ空間へこの等分布性を拡張し、$ (p_c^n)'(c) = \lambda(c) $ を満たすパラメータがマンデルブロ集合の調和測度へ等分布することを示すこと。
• 特にシーゲル円板、逃亡する臨界点、双曲性と関連して、導関数の逆像の等分布における特異集合の役割を分析すること。
• 点の逆像からの等分布結果を、導関数の逆像へ一般化し、接バンドル上のコサイクル力学問題として枠組みを構築すること。
• ポテンシャル論的および現在論的技法を用いて、パrameter空間における高次元の対象の等分布を研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 重複度を考慮した $ \lambda $ に対する $ n $-回繰り返し導関数の逆像を数える確率測度 $ \nu_n^\lambda = \frac{1}{d^n - 1} \sum_{(f^n)'(z) = \lambda} \delta_z $ を定義する。
• $ \mathbb{C}^2 $ 上の接写像 $ F(z,u) = (f(z), f'(z) \cdot u) $ の力学を研究し、その繰り返しは導関数コサイクルを符号化している。
• 写像 $ F $ のグリーン現在が、射影 $ \pi_1: (z,u) \mapsto z $ による $ \mu_f $ の引き戻しであることを証明し、$ (d^n - 1)^{-1} (F^n)^*([u=1]) $ がこの現在へ収束することを示す。
• 現在の交叉理論を用いて、$ (d^n - 1)^{-1} (F^n)^*([u=1]) \wedge [u=\lambda] \to \pi_1^*(\mu_f) \wedge [u=\lambda] $ を示し、これにより $ \nu_n^\lambda $ が $ \mu_f $ へ弱収束することを示す。
• パrameter空間の場合、$ u_n^\lambda(c) = \frac{1}{2^n} \log |(p_c^n)'(c) - \lambda(c)| $ を定義し、$ \nu_n^\lambda = dd^c u_n^\lambda $ とし、subharmonic 関数論を用いる。
• ハルトックスの補題および補題 3.8（バッフ＝ゴーティエ）を適用して、$ \mathbb{C} \setminus M $ 上で $ u_n^\lambda \to g_M $ の点ごとの収束を示し、これにより $ \nu_n^\lambda \to \mu_M $ が $ L^1_{\text{loc}} $ および弱収束することを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $ d \geq 2 $ の多項式 $ f $ に対して、$ (f^n)'(z) = \lambda $ を満たす点 $ z \in \mathbb{C} $ の集合が、均衡測度 $ \mu_f $ へ等分布するための条件は何か？
• RQ2 双曲性やシーゲル円板の不在といったより強い力学的仮定のもとで、導関数逆像の等分布における特異集合 $ E_f \subset \mathbb{C}^* $ が空集合であることを示せるか？
• RQ3 2次族における、$ (p_c^n)'(c) = \lambda(c) $ を満たすパラメータ $ c \in \mathbb{C} $ の等分布は、マンデルブロ集合の調和測度とどのように関係するか？
• RQ4 subharmonic ポテンシャルと現在の交叉の手法は、より高次の多項式族や高次元パラメータ部分多様体へどの程度一般化可能か？
• RQ5 合成則が導関数力学をコサイクルとして符号化する役割は何か？この構造は複素力学における等分布結果の確立をどのように支援するか？

主な発見

• 任意の次数 $ d \geq 2 $ の多項式 $ f $ に対して、$ \lambda \in \mathbb{C} \setminus E_f $ に対して測度 $ \nu_n^\lambda $ は均衡測度 $ \mu_f $ へ等分布する。ここで $ E_f \subset \mathbb{C}^* $ は極的集合である。
• もし $ f $ にシーゲル円板も、逃亡する臨界点もないならば、$ E_f = \emptyset $ であるため、すべての $ \lambda \in \mathbb{C}^* $ に対して等分布が成り立つ。
• 双曲的多項式では、特異集合 $ E_f $ も空であるため、すべての $ \lambda \in \mathbb{C}^* $ に対して等分布が成立する。
• 2次族 $ p_c(z) = z^2 + c $ において、$ (p_c^n)'(c) = \lambda(c) $ を満たす測度 $ \nu_n^\lambda $ は、任意の多項式 $ \lambda(c) $ に対して、マンデルブロ集合の調和測度 $ \mu_M $ へ弱収束する。
• 収束は、$ \mathbb{C} \setminus M $ 上でポテンシャル $ u_n^\lambda \to g_M $ の点ごとの収束を示し、subharmonic 関数論およびバッフ＝ゴーティエの補題を用いることで確立される。
• 証明は、$ c \in \mathbb{C} \setminus M $ に対して $ \frac{1}{2^n} \log |(p_c^n)'(c)| \to g_M(c) $ となる精密な推定値に依拠しており、誤差項は指数的に減少する。