[論文レビュー] Propriétés ergodiques des applications rationnelles

Vincent Guedj|ArXiv.org|Nov 10, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 106被引用数 42

ひとこと要約

この論文は、複素Kähler多様体の有理的自己準同型写像に対して、多重ポテンシャル理論と正の-currentを用いて、標準的かつ不変な確率測度の存在を確立する。主な結果は、写像がコhomologically双曲的（すなわち、すべての $j$ に対して動的次数の比 $\lambda_j / \lambda_{j+1} \neq 1$）であるとき、この測度が一意的であり、混合的で、最大エントロピーを持ち、周期点の等分配を支配することである。

ABSTRACT

This is a survey article with focus on the following problem. Given $f:X o X$ a meromorphic endomorphism of some compact Kähler manifold $X$, construct and study - under natural numerical conditions - a canonical invariant probability measure with remarkable ergodic properties (mixing, hyperbolicity, maximal entropy, etc).

研究の動機と目的

• 1次元の有理写像における最大エントロピー測度の理論を、高次元のコンパクト複素Kähler多様体へ拡張すること。
• 標準的な力学的解析を妨げる不定点集合の問題に取り組むこと。
• 有理的自己準同型写像に対して、強いエルゴード的性質（混合性、正のエントロピー）を有する標準的不変測度を同定すること。
• コhomological双曲性のもとで、周期点がこの測度に関して等分配することを証明すること。
• 特にHénon写像や射影空間の自己準同型写像に対して、複素動学における結果を統合的かつ一般化すること。

提案手法

• 滑らかな体積形式の引き戻しの極限を通じて、正の閉-currentの理論を用いて、標準的不変測度 $\mu_f$ を構成する。
• 動的次数 $\lambda_j(f)$ を、線形部分多様体の反復前像の次数の漸近的成長率として定義する。
• 測度 $\mu_f$ が $f$ に関して不変であり、エントロピー $h_{\text{top}}(f) = \log \lambda_1(f)$ を有し、最大エントロピーに達することを確立する。
• 関数 $j \mapsto \log \lambda_j(f)$ の凹性を用いて、コhomological双曲性を特徴付ける。
• 写像 $f^n$ のコホモロジーへの作用を分析し、カレント $T_f^k$ の構造を用いて、周期点の等分配性を証明する。
• 特異点の制御と収束の証明に、複素幾何の高度な道具、特にPoincaré-Lelong方程式と正のカレントの理論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素Kähler多様体 $X$ の次元が $k \geq 2$ である有理的自己準同型写像 $f: X \to X$ に対して、標準的不変測度が存在するか？
• RQ2 この測度が一意的で最大エントロピーを有するのはどのような条件下か？
• RQ3 このような写像に対して、周期点の等分配性を確立できるか？
• RQ4 動的次数の比 $\lambda_j / \lambda_{j+1}$ は、系のエルゴード的性質にどのように影響するか？
• RQ5 コhomological双曲性は、混合性および正のリャプノフ指数を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の支配的有理的自己準同型写像 $f: X \to X$ に対して、次元 $k \geq 2$ のコンパクト複素Kähler多様体 $X$ 上に、標準的不変確率測度 $\mu_f$ が存在する。
• 写像 $f$ がコhomologically双曲的（すなわち、すべての $j$ に対して $\lambda_j / \lambda_{j+1} \neq 1$）であるとき、$\mu_f$ は一意的であり、最大エントロピー $h_{\text{top}}(f) = \log \lambda_1(f)$ を有する。
• 測度 $\mu_f$ は混合的であり、正のリャプノフ指数を有するため、カオス的力学を示唆する。
• 写像 $f$ がコhomologically双曲的であるとき、$f$ の周期点は $\mu_f$ に関して等分配する。
• この構成は、全質量を持つ不変カレント $T_f^k$ の存在に依存しており、そのウェッジ積構造は動的次数を反映している。
• 古典的1次元の場合（例えばLyubichの定理）を高次元へ一般化し、複素幾何における有理写像の統計的力学の枠組みを確立する。