[論文レビュー] Distribution of postcritically finite polynomials

Charles Favre, Thomas Gauthier|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、次数 $d$ の複素多項式のモジュライ空間において、所与の組合せ構造と乗数を備えた後期的有限多項式および双曲的パラメータが、分岐測度へと等分布することを確立する。Yuanの小高さの点に対する等分布定理とEpsteinの横断性結果を用いて、これらのパラメータはその組合せ的複雑性が増加するにつれて、分岐測度に関して均等に分布することを証明する。

ABSTRACT

We prove that Misiurewicz parameters with prescribed combinatorics and hyperbolic parameters with (d - 1) distinct attracting cycles with given multipliers are equidistributed with respect to the bifurcation measure in the moduli space of degree d complex polynomials. Our proof relies on Yuan's equidistribution results of points of small heights, and uses in a crucial way Epstein's transversality results.

研究の動機と目的

• モジュライ空間 $\mathcal{P}_d$ において、所与の臨界軌道組合せ構造を備えた後期的有限多項式が分岐測度へと等分布することを確立すること。
• $d-1$ 個の異なる吸引的周期軌道と所与の乗数を備えた双曲的パラメータが、同じ測度へと等分布することを証明すること。
• アデール的高さ理論と幾何的横断性を用いて、二次多項式から高次多項式への等分布結果を拡張すること。
• 多項式力学系の高次元パラメータ空間における等分布の一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 算術的力学における小高さの点に対するYuanの等分布定理を用い、$\mathcal{P}_d$ における特別なパラメータの分布を分析する。
• 臨界点の最大グリーン関数を用いて、パラメータ空間 $\mathbb{C}^{d-1}$ 上に分岐高さ関数を構成する。
• ラインバンドル $\mathcal{O}(1)$ に半正定なアデール的計量を導入し、高さを定義することで、算術的性質と力学的性質を結びつける。
• Epsteinの横断性結果を適用し、臨界軌道関係がパラメータ空間内で滑らかで横断的な交差を定義することを保証する。
• 双曲的成分によってパラメータ付けられる正則ディスク $\mathbb{D}_{c,a}$ を用いて、距離を推定し、測度の集中を制御する。
• 長さ-面積推定とベズォウの定理を用いて、周期的パラメータの数を抑え、測度収束の速度を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 所与の臨界軌道組合せ構造を備えた後期的有限多項式は、$\mathcal{P}_d$ において分岐測度へと等分布するか？
• RQ2 $d-1$ 個の異なる吸引的周期軌道と所与の乗数を備えた双曲的パラメータは、分岐測度に関して等分布するか？
• RQ3 高次多項式族における特別なパラメータの等分布は、高さ理論的手法によって確立可能か？
• RQ4 臨界軌道関係の横断性が、パラメータ空間における等分布を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 このようなパラメータの等分布は、分岐測度へとどの程度の速度で収束するか？

主な発見

• 所与の組合せ構造を備えた厳密に後期的有限多項式は、$\mathcal{P}_d$ において分岐測度 $\mu_{\textup{bif}}$ に関して等分布する。
• $d-1$ 個の異なる吸引的周期軌道と所与の乗数を備えた双曲的パラメータも、$\mu_{\textup{bif}}$ へと等分布する。
• これらのパラメータに関連する経験的測度が $\mu_{\textup{bif}}$ へと弱収束することを示し、誤差項が $\varepsilon \to 0$ のとき減少することを確認した。
• 集合 $\operatorname{Per}^*(\underline{m}_k, \underline{w}[j])$ の濃度は、ちょうど $\prod_l \bar{M}_d(m_{k,l})$ に等しく、代数的曲線 $C_{k,j}$ の次数と一致する。
• 比 $\frac{\operatorname{Card}(\operatorname{Per}^*(\underline{m}_k, \underline{w}[j+1]))}{\deg(C_{k,j})}$ は、$\leq d(d-1)^{-2} d^{-m_{k,j}} \to 0$ のように減少し、測度の集中を保証する。
• 連続する双曲的成分における対応する点間の距離は $K\varepsilon$ で有界であり、長さ-面積推定を用いて測度の差を制御できる。