[論文レビュー] Distribution of zeros and masses for holomorphic and subharmonic functions. I. Hadamard- and Blaschke-type conditions

Б. Н. Хабибуллин, Nargiza Tamindarova|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、領域の境界付近における主要関数のRiesz測度の成長と、正則関数の零点分布および上位調和関数の質量分布との間の鋭い条件を確立する。部分調和ポテンシャル論を用いて、古典的なハダマールおよびブラシケ条件を任意の領域および主要関数へ一般化し、Riesz測度の可積分性条件が、零点列または質量分布に対する対応する収束条件を示すことを証明する。平面、単位円板、およびアニュラスなどの複素領域において、径数的、グリーン関数レベル、双曲的、距離に基づく設定で、新たな結果を提示する。

ABSTRACT

Let $M$ be a subharmonic function on a domain $D$ in the complex plane $\mathbb C$ with the Riesz measure $ν_M$. Let $f$ be a non-zero holomorphic function on $D$ such that $\log |f|\leq M$ on $D$ and the function $f$ vanish on a sequence ${ t Z}=\{{ t z}_k\}_{k=1,2, \dots}\subset D$ {\large(}$u ot\equiv -\infty$ be a subharmonic function on $D$ with the Riesz measure or the mass distribution $ν_u$, and $u\leq M$ on $D$ resp.{\large)}. Then restrictions on the growth of the Riesz measure $ν_M$ of the function $M$ near the boundary of the domain $D$ entail certain restrictions on the distribution of points of the sequence $ t Z$ (to the mass distribution $ν_u$ resp.). A quantitative form of research of this phenomenon is given immediately in the subharmonic framework. We also establish results in the inverse direction. We investigated in detail the cases when $D$ is $\mathbb C$, the unit disk, exterior of the unit disk, a concentric annulus, and $M$ is a radial function; $D$ is a regular domain and $M$ are constant on the level lines of Green's function of this domain $D$; $D$ is a domain of hyperbolic type, and $M$ are the superpositions of convex functions with functions that depend on the hyperbolic radius; $D$ is a regular domain and $M$ is the superposition of convex functions with a function dependent on the distance to some subset of the boundary of the domain $D$. All our main results and their implementation in more or less concrete situations are new not only for subharmonic functions $u$, and also for holomorphic functions $f$ even in the case when $D$ is $\mathbb C$, the unit disk, an annulus etc.

研究の動機と目的

• 正則関数のlog|f| ≤ Mを満たすような上位調和主要関数MのRiesz測度の成長と、正則関数の零点分布または上位調和関数の質量分布との間の定量的関係を確立すること。
• 複素平面および単位円板という古典的設定を超えて、一般の領域および主要関数へ古典的ハダマールおよびブラシケ型条件を拡張すること。
• Riesz測度の可積分性条件を用いて零点および質量分布の制約を捉える、部分調和ポテンシャル論における統一的枠組みを提供すること。
• 径数的、グリーン関数レベル、双曲的、距離に基づく主要関数を含む多様な幾何的設定において、正則関数および上位調和関数に対して、新たな非自明な結果を導出すること。
• Riesz測度の可積分性が零点または質量級数の収束を示す直接的および逆の結果を確立し、適切な条件下で逆も成り立つことを示すこと。

提案手法

• Riesz表現定理を用いて、上位調和主要関数Mをその正のBorel測度ν_Mに結びつけ、log|f|の成長または上位調和関数uの質量分布を支配する。
• 部分調和ポテンシャル論を適用し、対応する零点列{z_k}または質量分布ν_uがハダマール型またはブラシケ型に類似した収束条件を満たすために必要な十分条件を導出する。
• 特定の幾何的領域を分析する：複素平面C、単位円板D、単位円板の外部、同心なアニュラス、および正則または双曲的領域。
• 径数的、グリーン関数の等高線に沿って定数となる、双曲的半径または境界からの距離と凸関数の重ね合わせである主要関数Mを考察し、関連する零点または質量分布の制約に対する鋭い推定値を証明する。
• ハダマール型条件には|z|^{-q}、ブラシケ型条件にはlog(1/|z|)または(1-|z|)などのテスト関数を用い、積分および級数の収束基準を導出する。
• 主要な不等式（例：(2.3)、(2.4C)）において、定数CおよびC̅_Mの明示的依存関係を含む一様な推定値を導出し、結果が定量的であり、高次元や多重調和関数への応用も可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域Dにおける上位調和主要関数MのRiesz測度ν_Mにどのような条件が課されると、log|f| ≤ Mを満たす正則関数fの零点列{z_k}が、∑|z_k|^{-q} < ∞のような収束条件を満たすか？
• RQ2 ν_Mが∂D付近で可積分であるという条件は、単位円板内での境界からの距離に関連する級数∑(1 - |z_k|) < ∞ の収束をどのように示すか？
• RQ3 古典的ブラシケおよびハダマール条件は、単位円板や複素平面を超えて、一般の領域Dおよび一般の主要関数Mに対しても一般化可能か？
• RQ4 上位調和関数u ≤ Mの質量分布とν_Mの成長との間の正確な定量的関係は何か？
• RQ5 径数的、グリーン関数レベル、双曲的、距離に基づく主要関数といった幾何的および関数的設定において、これらの一般化された条件は鋭い定数を伴って成り立つか？

主な発見

• 複素平面C上での正則関数fについて、log|f| ≤ Mが成り立つとき、あるq > 0に対して∫_{C∖D(R₀)} |z|^{-q} dν_M(z) < ∞ ならば、∑_{|z_k| > R₀} |z_k|^{-q} < ∞ が成り立つ。これは古典的ハダマール条件を一般化する。
• 単位円板Dにおいて、∫_{D∖D(r₀)} log(1/|z|) dν_M(z) < ∞ または同値に∫_{D∖D(r₀)} (1 - |z|) dν_M(z) < ∞ ならば、∑_{|z_k| > r₀} (1 - |z_k|) < ∞ が成り立つ。これは古典的ブラシケ条件を一般化する。
• 本稿は、C、D、Dの外部、同心なアニュラス、正則または双曲的領域において、零点および質量分布の新たな鋭い条件を確立する。Mは径数的、グリーン関数の等高線に沿って定数、または双曲的半径または境界からの距離と凸関数の重ね合わせである。
• 結果は定量的かつ一様であり、主要な不等式（2.3）および（2.4C）における定数CおよびC̅_Mの明示的依存関係を有し、高次元や多重調和関数への応用が可能である。
• すべての主要な結果は、部分調和関数についても、古典的領域（C、D、アニュラス）における正則関数についても、新規である。したがって、本研究はレビュー不可能であり、根本的に新規なものである。
• この枠組みは、複素ポテンシャル論および解析的円板を介して、高次元および多重調和関数への自然な拡張を可能とし、主要関数Mによって一様に制御される主要な推定値が得られる。