[論文レビュー] Removable singularities for nonlinear subequations

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、$M$-極集合—$E = \{\psi = -\infty\}$ を満たす閉集合 $E$ で、$E$ の外で滑らかな $M$-下準調和関数 $\psi$ に対応するもの—の概念を導入することにより、完全非線形第二階部分方程式に対して除去可能な特異点定理を確立する。主な結果は、部分方程式 $F$ が $M$-単調（すなわち $F + M \subset F$）であるならば、任意の局所 $C^\infty$ $M$-極集合 $E$ は、$E$ を超えて上に有界な $F$-下準調和関数および $E$ を連続的に超えて定義される $F$-調和関数に対して除去可能であることを示している。これは、Monge-Ampère方程式および幾何的部分方程式に対する既知の結果を統一的かつ一般化するものである。

ABSTRACT

We study the problem of removable singularities for degenerate elliptic equations. Let F be a fully nonlinear second-order partial differential subequation of degenerate elliptic type on a manifold X. We study the question: Which closed subsets E in X have the property that every F-subharmonic function (subsolution) on X-E, which is locally bounded across E, extends to an F-subharmonic function on X. We also study the related question for F-harmonic functions (solutions) which are continuous across E. Main results assert that if there exists a convex cone subequation M such that F+M is contained in F, then any closed set E which is M-polar has these properties. To be M-polar means that E = {f = -\infty} where f is M-subharmonic on X and smooth outside of E. Many examples and generalizations are given. These include removable singularity results for all branches of the complex and quaternionic Monge-Ampere equations, and a general removable singularity result for the harmonics of geometrically defined subequations. For pure second-order subequations in R^n with monotonicity cone M, the Riesz characteristic p = p(M) is introduced, and extension theorems are proved for any closed singular set E of locally finite Hausdorff (p-2)-measure (or, more generally, of (p-2)-capacity zero). This applies for example to branches of the equation s_k(D^2 u) = 0 (kth elementary function) where p(M) = n/k. For convex cone subequations themselves, several removable singularity theorems are proved, independent of the results above.

研究の動機と目的

• 閉集合 $E \subset X$ が、$X \setminus E$ で定義された $F$-下準調和関数が $E$ を超えて局所的に有界であるとき、$X$ 上の $F$-下準調和関数に拡張可能となる条件を同定すること。
• この解析を、$E$ を連続的に超えて定義される $F$-調和関数（解）に拡張すること。
• 完全非線形で、おそらく退化する強調度のない偏微分方程式に、古典的な除去可能な特異点結果を一般化すること。
• $M$-単調性を有する部分方程式の除去可能な集合の核心的クラスとして、$M$-極集合を導入し、特徴づけること。
• 複素およびクaternion的 Monge-Ampère方程式および幾何的に定義された部分方程式に、この理論を適用し、新たな拡張定理を導出すること。

提案手法

• 部分方程式 $F$ を、$M$ が凸錐部分方程式であるとき、点ごとに $F + M \subset F$ を満たす場合に $M$-単調であると定義する。
• $M$-下準調和関数 $\psi$ が $X \setminus E$ で滑らかであるとき、$E = \{\psi = -\infty\}$ を満たす閉集合 $E$ を $M$-極集合と呼ぶ。
• 可視的理論とジェット理論的議論を用いて、$E$ の近傍における関数の上位2次ジェットを分析し、特に $F$-下位集合への包含をテストする。
• 比較原理とテスト関数の使用を通じて、$M$-下準調和関数の構造を活用して特異点を制御することで、拡張定理を確立する。
• 具体的なケースに一般枠組みを適用する：複素およびクaternion的 Monge-Ampère方程式、$\sigma_k$-方程式、幾何的部分方程式。
• $M$-単調性錐 $M$ のためのリエス特性 $p_M$ を導入し、$(p_M - 2)$-ヒューリスト型測度が有限である集合に対して、拡張結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉集合 $E \subset X$ に対して、$X \setminus E$ で定義された $F$-下準調和関数が $E$ を超えて上に有界であるとき、それが $X$ 上の $F$-下準調和関数に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 どの閉集合 $E$ が、$E$ を連続的に超えて定義される $F$-調和関数に対して除去可能となるか？
• RQ3 $M$-単調性（$F + M \subset F$）が、非線形部分方程式の除去可能な特異点定理を可能にする役割は何か？
• RQ4 リエス特性 $p_M$ とヒューリスト型測度は、純粋第二階部分方程式の特異点除去にどのように関係するか？
• RQ5 この理論は、複素およびクaternion的 Monge-Ampère方程式のすべての分岐および幾何的に定義された部分方程式に適用可能か？

主な発見

• もし $F$ が $M$-単調であり、$E$ が局所 $C^\infty$ $M$-極集合であれば、$X \setminus E$ で定義された任意の $F$-下準調和関数で $E$ を超えて局所的に上に有界なものは、$X$ 上の $F$-下準調和関数に拡張可能である。
• $F$-調和関数 $u$ が $X$ 上で連続であるとき、$F$ が $M$-単調であり、$E$ が内部を持たない局所 $C^\infty$ $M$-極集合であれば、$u$ は $X$ 上の $F$-調和関数に拡張可能である。
• $\mathbb{R}^n$ 内の純粋第二階部分方程式で、単調性錐 $M$ を持つ場合、任意の閉集合 $E$ が局所的に有限な $(p_M - 2)$-ヒューリスト型測度を持つならば、$E$ を超えて上に有界な $F$-下準調和関数は除去可能である。ここで $p_M$ は $M$ のリエス特性である。
• $\sigma_k(D^2u) = 0$ の $k$-次基本対称関数方程式に対して、リエス特性は $p_M = n/k$ であり、$(n/k - 2)$-測度が有限である集合に対して除去可能である。
• 複素 Monge-Ampère方程式に対しては $p_M = 2n/k$、クaternion的 Monge-Ampère方程式に対しては $p_M = 4n/k$ であり、それぞれ $(2n/k - 2)$-および $(4n/k - 2)$-測度が有限である集合に対して除去可能である。
• この理論は、複素およびクaternion的 Monge-Ampère方程式のすべての分岐および幾何的に定義された部分方程式に適用可能であり、退化する強調度のない設定における除去可能な特異点結果の一般枠組みを提供する。